• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

射影変換について 

射影変換について  前回射影変換について質問させて頂きました。 前回の続きで新たに質問させて頂きます。 前回の質問内容:http://okwave.jp/qa/q5979978.html 射影変換の例として、高次関数を1次関数に変換するものに射影変換となるものがあると ご回答頂きました。 >高次式f(x) = a + bx + cx^2 + dx^3 + ...を、x の2乗以上の項を切り捨てた >P{f(x)} = a + bxに写す変換は、P[P{f(x)}] = a + bx なので、射影変換である。 高次式を1次式に変換する場合に射影変換とならない場合もあるのでしょうか? 私の認識では、高次式を1次式にするような変換は全て射影変換なのですが。。。 射影変換の定義はどのように定義されるのでしょうか? Webで検索してもなかなか理解できる内容がHitしないので・・・ また、射影変換の具体的例などもご教示頂けるとありがたいです。 私が知っている範囲では正射影ですが他にも重要なものがありましたら よろしくお願い致します。

  • RY0U
  • お礼率40% (434/1065)

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数2
  • 閲覧数1952
  • ありがとう数6

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.2

前回のご質問を見る限り、ご質問の内容は幾何学における射影変換についてですね。 射影変換は射影空間の性質を保つ変換のことで、座標の一次分数関数によって変換されるものです。 と言っても何のこっちゃという感じだと思いますが。 ビルの前に立ってそのビルの写真を撮ることを考えてみましょう。水平に写真を撮れば ビルの垂直線は平行なままで写ると思います。しかし少しビルを見上げて撮ると遠近法に よってビルの垂直線は上に行くに従ってすぼまって写ります。 このような二つの写真間で対応する点の位置を変換するのが射影変換です。 グーグルマップのストリートビューをご覧になったことがあるでしょうか。写真の上をドラッグ することで見る方向を連続的に変えることができますが、これはまさに射影変換をやっています。 注意として、射影変換をしてもビルの裏側は見ることができません。あくまでも立ち位置は そのままで視点(視線)を変えるだけです。これによって元々平行線だったのがそうでなく なったり、その逆が起こるのがユークリッド変換やアフィン変換との違いですが、直線が直線 のままに写るのは共通です。 もうひとつ、よく三次元から二次元に落とすのが射影変換であると解説しているサイトを 見かけますが違います。変換(Transformation)とは写像の中で特に同じ空間内における 全単射を指すのが慣習ですから、二次元射影変換なら二次元から二次元への変換です。 >射影変換の例として、高次関数を1次関数に変換するものに射影変換となるものがある このようなものは射影(Projection)とは言っても射影変換とは言わないと思います。 ちなみに二次以下の多項式a+bx+cx^2をa+bxに写す写像などが射影と呼ばれる理由は、 a+bx+cx^2を(a,b,c)と書けば、(a,b,c)を(a,b,0)に写すことになり、三次元空間の点を XY平面に正射影していることになるからです。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

3次元xyz→3次元のxyへの写像と言うことで正射影は射影変換の代表的なものであると理解しました。

質問者からの補足

ご回答ありがとうございます。 例もわかりやすく大変感謝しています。 グーグルマップのストリートビューの例は大変分かりやすく 直感的に理解できました。 a+bx+c^2xを(a,b,c)として(a,b,0)つまりxy平面への射影を正射影という事は 理解できます。 正射影は射影変換の代表的なものだと認識していましたが、変換とは「同じ空間への 全単射」という事なので、この場合3次元→2次元より正射影は射影変換ではないと 理解したのですが間違いでしょうか?

関連するQ&A

  • 射影変換について

    射影変換について 以前射影変換について質問させて頂きました。 以前の質問内容:http://okwave.jp/qa/q6018544.html 射影変換については大凡理解できました。 正射影とは射影変換の代表的なものであるという認識なのですが、 間違いでしょうか? 以前ご回答頂きました内容において、 「正射影の例としてa+bx+cx^2を(a,b,c)と書けば、(a,b,c)を(a,b,0)に写すことになり、 三次元空間の点をXY平面(2次元)に写す」 という点から正射影は射影変換とはならないのでしょうか? 以上、ご回答よろしくお願い致します。

  • 射影変換について

    射影変換について 前回の質問で射影変換について質問させて頂きました。 前回の質問内容:http://okwave.jp/qa/q5979978.html 大凡のイメージはつきました。 ここで、前回の質問で写真撮影が射影変換の身近な例だと記述がありました。 写真撮影は3次元を写真(平面)に変換することから3D→2Dの変換イメージなのですが、 写真は、「3次元の空間内に存在するもの」のようです。 なぜ写真撮影は「3次元の空間内に存在するもの」と解釈されるのでしょうか? ご回答よろしくお願い致します。

  • 射影変換について

    射影変換について 射影変換とはどのような変換なのでしょうか? 調べた限りでは、線形変換+遠近法を合わせた物で直線は直線を保つ変換とあるのですが 漠然としていてよくわかりません。 具体的には正射影なども射影変換の一つだと有りました。 Webで検索したのですが、定義など理解出来る物がありませんでしたのでご質問させて頂きました。 また、Webでは写真撮影が射影変換の例だと述べられていました。 私の認識では、同一集合への写像の場合に変換と言うと認識しています。 写真撮影は3D→2Dの写像だと思うのですが、これも変換と成るのでしょうか? ご回答よろしくお願い致します。

その他の回答 (1)

  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

f(x) = a + bx + cx^2 + ... → P[f(x)] = ab + cx は射影でしょうか?

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 線形変換の定義

    線形変換の定義 以前から何度が質問させて頂いている者です。 新規で質問させて頂きます。 前回の質問内容:http://okwave.jp/qa/q5985949.html 前回の質問内容で、線形変換の定義において 体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、x,y∈V, a,b∈K について a+b=1 のときf(ax + by) = a f(x) + b f(y), f(ax) = a f(x) が成り立つもの。 について定義の取り方で、a+b=1を一次関数と見なせるとご回答頂きました。 回答頂いた内容は私には難しかったので内容を読み返します。 ここで、f(ax+by)という関数は具体的にはどのような関数になるのでしょうか? 具体的に式を記載して頂けると有り難いです。 線形空間であれば、y=axのイメージなのですが・・・うまくイメージ出来ません・・・ 以上、よろしくお願い致します。

  • 線形変換の定義

    線形変換の定義 前回の質問で線形変換とアフィン変換について質問させて頂きました。 前回の質問内容:http://okwave.jp/qa/q5973471.html 線形変換とアフィン変換については理解する事が出来ました。 ご回答下さった方本当にありがとうございます。 線形変換の定義を幾つか示して頂いたのですが、 線型変換の定義: [1] 体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、 x,y∈V, a,b∈K, について常に f(ax+by) = a f(x) + b f(y) が成り立つもの。 線型変換の定義: [1’] [1']?体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、?x,y∈V, a∈K について常に?f(x+y) = f(x) + f(y),? f(ax) = a f(x) が成り立つもの。 線形変換の定義:[1''] ?体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、?x,y∈V, a,b∈K について a+b=1 のとき?f(ax + by) = a f(x) + b f(y),? f(ax) = a f(x) が成り立つもの。 定義[1] ⇔ [1'] ⇔ [1''] が同値であることはどのように示せば良いのでしょうか? また、定義[1'']におけるa+b=1とは具体的に何を示しているのでしょうか? ご回答よろしくお願い致します。

  • 形変換 アフィン変換 

    形変換 アフィン変換  前回同様の内容で質問させて頂きました。 不明な点がいくつかありますので改めて質問させて頂きます。 前回の質問内容:http://okwave.jp/qa/q5957715.html アフィン変換 ⊃ 線型変換 であるとご回答頂いたのですが、これはアフィン変換は 線形変換を含むという認識で良いでしょうか? 線形変換はアフィン変換の部分集合だと理解したのですが間違いでしょうか? また、線形変換及びアフィン変換の定義に関して ・線型変換の定義: [1]  体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、  x,y∈V, a,b∈K, について常に f(ax+by) = a f(x) + b f(y) が成り立つもの。 ・アフィン変換の定義: [2]  体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、  x,y∈V, a,b∈K, について a+b = 1 のときは f(ax + by) = a f(x) + b f(y)  が成り立つもの。 とご教示頂きました。 定義[1],[2]について考えると、 [1]が成り立てば、[2]は成り立つと思います。 [1]はa+b=1によらず、f(ax+by)=af(x)+bf(y)が成り立ちますから。 翻って、[1]ならば[2]が成り立つと言うことは線形変換がアフィン変換を含むと 言う事になりませんか?この点で混乱しています・・・ ご回答よろしくお願い致します。

  • 一次変換

    定義1:平面上の点P(x,y)から点P'(x',y')への変換fが次の条件を満たす。 f:{x'=ax+by {y'=cx+dy (a,b,c,dは定数) 定義2:任意のベクトルx,yと定数αに対して変換fが次の2つの条件を満たす。 (1)f(x+y)=f(x)+f(y) (2)f(αx)=αf(x) 定義1は定義2を満たすことを示せ。 また、定義2は定義1を満たすことを示せ。 証明するような問題は苦手で、どうしたらいいのか全く分かりません。 どなたか教えていただけないでしょうか? 詳しく解説していただけると有難いですが、解くためのヒントなどでも良いので、お願いします。

  • 射影空間の定義について

    射影幾何のついて学び始めたのですが、抽象的なためか定義の理解に苦しんでいます。 「複素ベクトル空間Vの射影化P(V)とは、V\0の同値関係~による商である。」とあり、直後の問題で、「このP(V)とVの1次線形部分空間の集合と自然な1体1対応があること示せ。」とあります。私としては、n次元ベクトル空間Vに対する1次元部分ベクトル空間との1体1対応、かと思っていたのですが、違う本を参照してみると、 「Def.ベクトル空間Vの1次元線型部分空間をP(V)とかき、射影空間と呼ぶ。Vがn+1ならばP(V)はn次元であるという。」と、ありました。 質問は次です。 Q,下の定義において、1次元線形部分空間なのに、なぜn次元の話になるのか。 この時、上の問題の回答は、 (x0,x1,…,xn)→(x1/x0,…,xn/x0) と対応付ければ終わりでしょうか。 よろしくお願いします。

  • 数学IIIの問題です!

    数学IIIの質問です。解き方を教えて下さい。 問題.f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+dとおく。関数y=f(x)のグラフがy軸と平行なある直線に関して 対称であるとする。 (1)a,b,c,dが満たす関係式を求めよ。 (2)関数y=f(x)は二つの二次関数の合成関数になっていることを示せ。 よろしくお願いします。

  • 微分できない関数のべき級数展開

    関数f(x)は奇関数であり、xが正の整数ならばf(x)=1とします。 この関数がべき級数展開可能かどうかの質問です。 f(x)=ax とおくと f(1)=1 から a=1 よって f(x)=x f(x)=ax+bx^3 とおくと f(1)=1, f(2)=1 から a=7/6, b=-1/6 よって f(x)=(7/6)x-(1/6)x^3 f(x)=ax+bx^3+cx^5 とおくと f(1)=1, f(2)=1, f(3)=1 から a=37/30, b=-1/4, c= 1/60 よって f(x)=(37/30)x-(1/4)x^3+(1/60)x^5 この3つの結果からすると、このまま進めて行っても各係数は発散するとは限らないように思えます。 実際に各係数の極限値を求めるのは私の手に余るのですが、べき級数展開は可能ですか?

  • 分数関数 割り切るためには?

    前回書き間違いをしてしまい、ご迷惑をおかけしました。 正しい質問は f(x)=(ax+b)/(cx+d) (a,b,c,dはともに整数) という形の分数関数において右辺が割り切れるように整数xを定めたいとき、手当たりしだい代入していく以外にxを全て、もしくはひとつでも求めることが可能か?というものです。 例として f(x)=(-5x+77)/(9x+4) 例の場合はx=3のとき62/31となり割り切れるので、解のひとつとなります。 よろしくお願いします。

  • 積分

    数IIの問題です。 xの3次関数f(x)=ax^3+bx^2+cx+dが、3つの条件、 f(1)=1、f(-1)=-1、∫[-1→1](bx^2+cx+d)dx=1 を全て満たしているとする。 I=∫[-1→1/2]{f´´(x)}^2dx を最小にするものを求め、その時のIの値を求めよ。 ただし、f´´(x)はf´(x)の導関数をあらわす。 この問題の解法が解りません。 どなたか教えてください。

  • 因数分解、部分分数分解(ラプラス逆変換)

    下式のラプラス逆変換をしたいのですが、そのための部分分数分解ができません。 おそらく分母を因数分解する必要があると思われますが、そこから教えて頂けないでしょうか? F(x)=1/[ x(Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx^+E) ]