正規分布の問題でわからないところがあります

質問

正規分布の問題でわからないところがあります

正規分布のところをつい先日習ったのですがわからない問題があります

以下問題です

次の表はハーバードメディカルスクールのPhysicians' Health Study Research Groupにより行われたアスピリンと心筋梗塞との関係についての報告書からの引用である。

アスピリンの服用と心筋梗塞(MI)とのクロス集計
群 MI発症あり MI発症なし 合計
プラセボ 189 10845 11034(n1)
アスピリン 104 10933 11037(n2)

プラセボ群の発症率をp1 アスピリン群の発症率をp2とする。

(1)リスク差p1-p2の推定量p'1-p'2はn1,n2が十分大きければ正規分布に従うと考えられる。p'1-p'2の期待値と分散を求めて95％Clを導き、表のデータからリスク差の推定値、95％Clを計算しなさい。

(2)リスク比p1/p2は非負であるため、推定量p'1/p'2の分布はゆがんでしまう。そこでlog(p'1/p'2)と変換すると、これはn1,n2が十分大きければ正規分布に従う。
logp'1,logp'2をそれぞれp1,p2のまわりで１次近似し、log(p'1/p'2)の期待値と分散を求めて95％Clを導きなさい

(3)(2)の結果からリスク比の95%Clを導き、表のデータからリスク比の推定値、95%Clを計算しなさい。

回答No.1

noname#227064

(1)は、教科書なり参考書に書いてあるかと思いますし、(3)は(2)がわかればできるので回答は控えます。
(2)は問題文にヒントがあるのですが、一次近似がどう期待値と分散が求められることにつながるかわからない可能性もありますので、求め方を書いておきます。

確率変数Xが平均μ分散σ^2の正規分布に従うとき、f(X)の期待値と分散を求めたいとします。
まず、f(X)を期待値周りでテーラー展開します。
f(X) = f(μ) + f'(μ)(X - μ) + …
これの二次以上の項が無視できるなら、f(X)の期待値及び分散はそれぞれ
E{f(X)} = E{f(μ) + f'(μ)(X - μ)} = f(μ)
V{f(X)} = E[{f(X) - f(μ)}^2] = E{f'(μ)^2(X - μ)^2} = f'(μ)^2 σ^2
となりますので、f(X)は平均がf(μ)で分散がf'(μ)^2 σ^2の正規分布に近似的に従うと考えられます。
この方法をデルタ法と呼びます。

あとは、f, X, μ, σ^2に当たるものを代入すれば、(2)は難しくはないですよね？

お礼

ありがとうございます。
十分な解説を受けていないので、(教科書もないので)基本から理解できていませんでした。