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- dfhsds
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反省しました。流石に乱暴すぎたようです。 で、反省の結果。。。 Ｌ＝｛ｌ；ａ＜ｘ＜ｌ なる全てのｘについてＱ(ｘ)｝ とおけば、 ・Ｌは空でない ・Ｌが上に有界ならば、 上限をもつのでそれをｍとおく。 ｍがＬの元ならば、IIより∃ｃ、m<x<c・・・・で矛盾 ｍがＬの元でないなら、IIIよりｍ∈Ｌ・・・で矛盾 したがって、Ｌは上に有界ではない。 という論旨ではいかがでしょうか。
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- funoe
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いやぁ、最初見たときはあなたと同じ疑問が生じますねぇ。 とはいえ、著名な廣瀬、島内両先生からの引用ってことを踏まえると信用せざるを得ない。 で、考えたら次のような方針でいかがでしょう。 Qが成り立つ元の集合が上に有界だとすると、上限αがある。 このαをIIIのｃと置くと、 b < α なる任意の実数b をとったとき,b < x < α なる任意のx についてQ(x) が成り立つ・・・・(*) ので、Q(α）が成り立つ。 従ってαでQは成り立つ。 するとIIから、α＜ｃなるｃが存在して、α < x < c なる任意の実数x に ついてQ(x) が成り立つ。これはαがＱが成立する元の集合の上限であることに反する。 ってな感じでいかがでしょうか？ (*)のところが少し乱暴ですが、きっと大丈夫ですよね。
a(n)が単調増大列とは任意のn1<n2に対して a(n1)≦a(n2) ・・・・・＊ が成立することだ。無限に発散しないということは あるn0に対して任意のn、m≧n0ではa(n)=a(m)になることだよな。ということは n0以上でも＊は言えるんじゃないのか。
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