離散数学の証明

質問

離散数学の証明

束に関する証明問題なのですがいまいち分かりません。
以下の問題を解いて解説していただけるとありがたいです。
おそらく吸収則や冪等則を用いるのだと思うのですが・・・

Lを束とする。このとき、任意のa,b,c,d∈Lに対して、次の(1)～(3)が成り立つことを示せ。

(1)a≦bならば、a＋c≦b＋c、かつ、a・c≦b・c
(2)c≦aならば、（a・b）＋c≦a・（b＋c）
(3)a＋（b・c）≦（a＋b）・（a＋c）

回答No.5

nag0720 · ベストアンサー

(2)の証明の前に、(a・(b+c))+(a・b)=a・(b+c)　を証明しておきます。

(b+b)+c=b+c　　（冪等則）
b+(b+c)=b+c　　（結合則）
b≦b+c
b・a≦(b+c)・a　　（(1)より）
a・b≦a・(b+c)　　（交換則）
(a・b)+(a・(b+c))=a・(b+c)
∴(a・(b+c))+(a・b)=a・(b+c)　　（＊）

(2)c≦aならば、(a・b)+c≦a・(b+c)

c≦a
c・(b+c)≦a・(b+c)　　（(1)より）
c≦a・(b+c)　　（吸収則）
c+(a・b)≦(a・(b+c))+(a・b)　（(1)より）
∴(a・b)+c≦a・(b+c)　（＊より）

(3)は、(1)(2)を利用できるかも・・・

お礼

何度も解答していただきありがとうございました。
(3)は何とか導けました。
後はよく復習して、問題演習をして証明の技術を高めたいと思います。
本当にありがとうございました！

回答No.4

nag0720

＞冪等束は交換則・結合則・吸収則から導かれるので定義だと思います。

定義から導かれる法則は、普通は定義ではなく定理といいます。

＃３さんの証明は分配則を使っていますが、分配則が成り立つは言えないので正しくありません。
（分配則が成り立つ束は分配束といいます）

(1)a≦bならば、a・c≦b・c
a≦b
a+b=b
(a+b)・a=b・a
a=b・a　　（吸収則）
a・c=(b・a)・(c・c)　（冪等則:c=c・c）
a・c=(a・c)・(b・c)　（交換則、結合則）
(a・c)+(b・c)=((a・c)・(b・c))+(b・c)
(a・c)+(b・c)=(b・c)　（吸収則）
a・c≦b・c

(2),(3)も分配則は使えないので注意が必要です。

お礼

分配則は使えないですね。
勉強になりました。ありがとうございます。
そうすると、（２）（３）はどうしたらよいでしょうか？
再び分からなくなってしまいました。
ヒントでもいいのでアドバイスいただけませんか？

回答No.3

178-tall

>(1) a≦bならば、 ... a・c≦b・c

「ブール代数」流なら…。

　a≦b
　a+b = b
　　　↓
　(a+b)*c = b*c
　　　↓
　a*c + b*c = b*c
　a*c≦b*c

…残りも同様にできませんか？

お礼

(1)は分かりました。ありがとうございます。
(2)は何とかできました。
(3)は難しいです・・・
教えていただけると助かります。

回答No.2

nag0720

冪等則を使っていいのなら、

a≦b
a+b=b
(a+b)+(c+c)=b+c　（∵冪等則:c+c=c）
(a+c)+(b+c)=b+c　（交換則、結合則）
a+c≦b+c

冪等則は、交換則・結合則・吸収則から導かれるので、定義には含まれていないかもしれませんが。

お礼

冪等束は交換則・結合則・吸収則から導かれるので定義だと思います。
ご解答ありがとうございます。
(2)(3)と(1)のa・c≦b・cを証明して頂けると本当に助かります。

回答No.1

178-tall

>(1) a≦bならば、a＋c≦b＋c ......

「ブール代数」だと、a≦b と a+b = b とを同一視して、

　a≦b
　a+b = b
　　　↓
　a+b+c = b+c
　　　↓
　(a+c) + (b+c) = b+c
　a+c≦b+c

…などとやりますけど、「束論」じゃ通用しませんか？

お礼

ありがとうございます！
束論でも通用するやりかたです。
よろしければ(1)のa・c≦b・cと(2)(3)も証明していただけると助かります！