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微分の問題です。
微分の問題です。 (1)y=arcsin(arccosx) (2)y=a^log(cosx) ※ただしaは正の実数 よろしくお願いします。
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- muturajcp
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(1) y=arcsin(arccos(x)) cos(sin(y))=x 0≦arccos(x)=sin(y)≦1 cos(1)≦x≦1 -sin(sin(y))cos(y)y'=1 sin(sin(y))≠0,sin(y)≠0,x=cos(sin(y))≠cos(0)=1 cos(y)≠0,(sin(y))^2≠1,x=cos(sin(y))≠cos(1) cos(1)<x<1 y'=-1/{sin(sin(y))cos(y)} (sin(sin(y)))^2+x^2=(sin(sin(y)))^2+(cos(sin(y))^2=1 (sin(sin(y)))^2=1-x^2 (cos(y))^2+(arccos(x))^2=(cos(y))^2+(sin(y))^2=1 (cos(y))^2=1-(arccos(x))^2 y'=-1/[√{(1-x^2)(1-(arccos(x))^2)}] (2) y=a^{log(cos(x))} cosx>0,-π/2<x<π/2 log(y)=(log(cos(x)))(log(a)) y'/y=(log(a))(1/cos(x))(-sin(x)) y'=-{log(a)}tan(x)a^{log(cos(x))}
- info22_
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(1) arcsin,arccosの取りうるxの範囲を調べておくと y=arcsin(arccos(x)) 0≦arccos(x)≦π -π/2≦y≦π/2, 0≦sin(y)=arccos(x)≦1 ∴1≧x≧cos(1),0≦y≦π/2 以下この範囲で考える。 sin(y)=arccos(x) cos(sin(y))=x…(A) なので sin(y)=zとおき(A)の両辺をxで微分すると d(cos(z))/dz*(dz/dy)*(dy/dx)=1 -sin(z)*cos(y)*y'=1 y'=-1/{sin(z)cos(y)} =-1/{sin(sin(y))cos(y)} ここで sin(y)=arccos(x) sin(sin(y))=1-x^2 cos(y)=√{1-(arccos(x))^2} ∴y'=-1/[(1-x^2)√{1-(arccos(x))^2}] (2) y=a^{log(cos(x))} 対数の真数条件から cos(x)≠1,cos(x)>0 この条件の範囲で考えると y=e^{(log(a))log(cos(x))} y'=y{(log(a))log(cos(x))}' =y{(log(a))/cos(x)}{cos(x)}' =-y(log(a))sin(x)/cos(x) =-{log(a)}tan(x)a^{log(cos(x))}
- Tacosan
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(2) は y をもっと簡単な形にしてから微分すべきだと思う.
- R_Earl
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> y=arcsin(arccosx) f(x) = arcsinx, g(x) = arccosxとおけば、 f(g(x)) = arcsin(arccosx)となります。 あとは合成関数の微分法を用いてください。 > y=a^log(cosx) f(x) = a^x, g(x) = log(cosx)とおけば、 これもまたf(g(x)) = a^log(cosx)となります。 こちらも先ほどと同様に合成関数の微分法で何とかなります。 合成関数の導出過程でg'(x)を用いますが、 これを計算する時も合成関数の微分法を使います。
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