因数分解できません。

質問

因数分解できません。

x^3-16x+8>0

これはある問題の条件の一部なんですが、できません；
教えてください！

回答No.3

alice_44

x^3 - 16x + 8 > 0 を解くには、
x^3 - 16x + 8 = 0 を解いて、
その解の大小関係を示せばよいですね。

カルダノの方法は、やってみれば恐らく途中で挫折します。
解まで漕ぎ着けたとしても、その大小関係は容易でない。
もうひとつ有名な解法として、三倍角公式を使う方法がありました。

x = r sinθ と置いて方程式へ代入すると、
{ (1/4)(r^3) sin(3θ) + 8 } + { (3/4)r^2 - 16 }r sinθ = 0。
都合よく、(1/4)(r^3) sin(3θ) + 8 = 0 かつ (3/4)r^2 - 16 = 0
であるような r, θ が見つかれば、対応する x が見つかって、
左辺が x の一次式で割れます。
r = √{ 16・(4/3) } から、sin(3θ) = -8・4/r^3 = -(3/16)√3。
これにより、θ = -(1/3) Arcsin( (3/16)√3 ) として
x = (8/√3) sinθ が解のひとつであることが判ります。
同様に、あとふたつの解は、
x = (8/√3) sin(θ+(2/3)π)
x = (8/√3) sin(θ-(2/3)π) と求められます。

さて、
X1 = (8/√3) sinθ
X2 = (8/√3) sin(θ+(2/3)π)
X3 = (8/√3) sin(θ-(2/3)π) の大小関係ですが…

sin 0 = 0 < (3/16)√3 < 1/2 = sin(π/6) より、
0 < -3θ < π/6 だから、
-π/18 < θ < 0。

したがって、
-π/18-(2/3)π < θ-(2/3)π < -(2/3)π より、
-(5/6)π < θ-(2/3)π < -(1/2)π だから、
-1 = sin(-(1/2)π) < sin(θ-(2/3)π) < sin(-(5/6)π) = -1/2。

以上
sin(θ-(2/3)π) < -1/2 < sinθ < 0 < sin(θ+(2/3)π) より、
X3 < X1 < X2。

不等式の x^3 項の係数を考慮して、
「 X3 < x < X1 または X2 < x 」が答えと解ります。

回答No.2

goldenleaf

どんな問題かが分からないとなんとも言えませんけども、以下のようにして解けたりしませんか。

x^3 - 16x + 8
= x(x^2 - 16) + 8
= x(x - 4)(x + 4) + 8 > 0

-8 < x(x - 4)(x + 4) [ 又は -x(x - 4)(x + 4) < 8 ]

xが整数ならこれでいいと思うのですが、そうでなければちょっと難儀かもしれません。

回答No.1

info22_

左辺は簡単には因数分解できませんが、左辺=0は異なる3実解を持ちますのでそれを
x1,x2,x3(x1<x2<x3),θ=(1/3)arctan((√687)/9)[rad]とおくと
x1=-(8/3)(√3)cosθ≒-4.2298, x2=(4/3)(√3)cosθ-4sinθ≒0.5082,
x3=(4/3)(√3)cosθ+4sinθ≒3.7216

従って、質問の不等式の解は、上のx1,x2,x3を使って表せば

　x1<x<x2, x3<x

となるでしょう。