関数の極限に関する問題です。

質問

関数の極限に関する問題です。

Maximaという計算ツールと自分の答えが異なってしまったので、質問させて頂きます。

f(x)=(1 + 2/x)^x 　(x > 0)なる関数f(x)について、
（１）f(x)のx→+∞　の極限値
（２）d/dx(f(x)) / f(x) > 0　であることを示す。

この２問に対する解き方の課程をお教え戴きたいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

(1)
極限値=lim{x→+∞}{(1+1/(x/2))^((x/2)*2)}
=lim{t→+∞}{((1+1/t)^t)^2}　(t=x/2とおいた)

※ネイピア数eの定義=lim{n→∞}(1+1/n)^n

(2)d/dx(f(x))/f(x)=d/dx(log(f(x)))。
log(f(x))=xlog(1+2/x)
よって、
d/dx(log(f(x)))=log(1+2/x)+x(-2/x^2)(1/(1+2/x))
=log(1+2/x)-2/x・x/(x+2)
=log((x+2)/x)-2/(x+2)
=log(x+2)-log(x)-2/(x+2)　これをg(x)とおく。

lim{x→+0}g(x)=+∞
lim{x→+∞}g(x)=0
g'(x)=1/(x+2)-1/x+2/(x+2)^2
={x(x+2)-(x+2)^2+2x}/{x(x+2)^2}=-4/{x(x+2)^2}<0
よって、g(x)はx>0で正の値ととりながら単調減少する関数。
即ち与式>0

お礼

ありがとうございました。
手計算と一致したため、再度Maximaに入力してみたところ、正しい結果が出ました。
おそらく入力ミスをしてしまった可能性が高いと思います。
お手数おかけしました。