微分方程式って何なんですか？

質問

微分方程式って何なんですか？

工学部生だし受験で微分方程式の問題を完投したはずなのにいまだによくわかりません。
なんのためにあるんですか？なにがしたいんですか？
微分のかたちをしている方程式を解くものなのは当たり前ですが、ある程度パターンがきまっているのでしょうか？それともパターンがなくても解けるようになっているものなのでしょうか？

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。

#1さんの回答にもあるとおり、物理で用いられることが多いですね。
でも、経済学なんかでもよく使われています。

微分は、
・時間に対する（瞬間の）変化量【加速度や速度、物質の濃度など】
・場所に対する（局所的な）変化量といった【傾斜の勾配や温度分布など】

といった「変化の割合（度合い）」を表すものとして用いられます。

＞なにがしたいんですか？
この答えになっていないかもしれませんが。

高校物理で習う「運動方程式」も微分方程式です。
そもそもは「加速度は、加える力に比例し、質量に反比例する。」という運動の第 2法則を式にしたものです。

加速度は速度の変化量と考えれば、速度に関する微分方程式になりますし、
さらに速度は変位の変化量と考えれば、変位に関する微分方程式にもなりますね。

この世界で起こる現象・事象は、変化量が一定ではなく、時間・全体の量・場所に依存することが多いです。
そして、たいがいの「法則」は、その瞬間・場所での量に比例（反比例）関係を示したものになっています。
（指数関係も、対数をとってみれば比例の関係といえますね）
このような関係からそれぞれの量（欲しい量）を考えたいときに、微分方程式を解くといったことが必要になります。

微分方程式の問題として「放射性物質」の問題がよくありますが、
「減少する量は、そのときの全体の量に比例する。」
というようにその瞬間での量に依存している例になっています。

＞ある程度パターンがきまっているのでしょうか？
＞それともパターンがなくても解けるようになっているものなのでしょうか？
ある程度はパターンが決まっています。
ただし、「解けない」微分方程式も多くあります。
流体力学の方程式はその典型です。（もし解けることがあれば、フィールズ賞ものです。）
このようなときには、数値計算→スーパーコンピュータで計算で近似的な値を得ることになります。

ちなみに、F1（車）や飛行機などで風洞実験を繰り返したりしているのは、厳密解（微分方程式の解）がわからないので、実験をして調べないといけないということなのです。

回答No.1

tkdtoto7

微分方程式を解けるようになると、主に物理で役に立ちます。
高校レベルで言うと、自由落下などで使えるのではないでしょうか？
位置Ｘを微分すると速度Ｖ、速度Ｖを微分すると加速度ａとなります。
実際やってみたらわかると思いますが、物理で最初に覚えた公式が必要なくなります。
パターンは無数にありますが、実際に使うのはそれほどありません。
参考程度にお願いします。