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数列?!
多くの無限長の式とは違い、次の式√6+√6+√6+.... は有限の値を持ちます。それは次のうちのどれ? 3,π,√10,22/7,6 補足:最初のルートは√ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄のように無限の長さになっていて一 番外側のルートであり、その次のルート(これも無限の長さを持つ)はその 内側に入ります。つまりめちゃくちゃ長い√の中にめちゃくちゃ長い√が次々差し込まれている状態を繰り返します。 一般項を設定して無限大にとばす、というような手法を使うのでしょうか? 解法の方針が立ちません。。 この問題が分かる方宜しくお願いします!
- solution64
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x=√(6+√(6+√(6+....))) x^2=6+√(6+√(6+....))=6+x x^2-x-6=0 (x+2)(x-3)=0 x>0 なので x=3
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- Oxia
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答えを求めるのなら、 x = √(6+√(6+√(6+・・・))) とおいて、 x^2 - x = 6 (x>0) から、x = 3と求められます。 ところで、似たようなものに、 √(1+√(1+√(1+・・・))) というものがあり、これは答えが (1+√5)/2 と黄金比になります。 意外なところに、美しさが見つかるものです。
補足
数学っておもしろいですよね(^^)
- alice_44
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No.2補足の答案は、No.1と同一の内容です。 方程式の未知数を x と書いたか α と書いたか だけしか違いません。 「Xn→α と収束するとすると」と 収束性を仮定するのではなしに、 lim X[n] が収束することを示しておくべきだ …言ったのです。 X[n] ≦ 3 であれば X[n+1] = √(6+X[n]) ≦ √(6+3) = 3 ですから、 数学的帰納法により、数列 X[n] は 上界 3 を持ち、上に有界です。 また、 X[n+1] = √(6+√(6+…√(6+√6))) > √(6+√(6+…√(6+√0))) = X[n] なので、X[n] は、単調増加数列です。 「上有界な単調増加列は収束する」という定理を ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理 と言います。 解析学の教科書の最初のほうに たいてい載っていますから、読んでみて下さい。
お礼
勉強になります! もう少し考えてみます! ありがとうございました!
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
値の算出は No.1 のようでよいのですが、 その計算が空論でないことを保証するために、 √(6+√(6+√(6+… という式が値を持つことを 示しておかねば、意味がありません。 x[1] = √6, x[2] = √(6+√6), x[3] = √(6+√(6+√6)), … という数列を考えると、この数列は、 上に有界な単調増加列であることから、 収束することが示せます。 これを示した後では、No.1 のように計算してよい。 貴方の言うように、一旦は、部分列の極限を 考える必要があります。
補足
>上に有界な単調増加列であることから、収束することが示せます どのように示せばいいですか?もし良かったら教えてもらえませんか? 以下は自分のめちゃくちゃな示し方です(><) X1=√6 Xn+1=√(6+Xn) n→∞としたとき、Xn+1→α、Xn→α (α>=0)に収束するとすると、 α=√(6+α) 両辺二乗して α^2=6+α α^2-α-6=0 (α-3)(α+2)=0 α=3 (∵α>=0) よってXnはXn<=3であり上に有界であり....
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