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数II　微積　解説願い

以下の問いを、微分して求めるやり方の解説をお願いします。 【問】 2次関数 f(x) の原始関数の1つを F(x) とする。 f(x) と F(x) が次の等式を満たすとき、f(x) を求めよ F(x) = 1/3 (x-2) f(x) + f'(x) + 3 f(0)=1 解説では、恒等式の考え方で書いてあるのですが、そちらで求めた方が楽だということを聞き、やってみたのですが、どうしても出来ません。 解説をお願いします。

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  • tksmsysh
  • ベストアンサー率77% (27/35)
回答No.2

f(x)は2次関数なので、 f(x)=ax^2+bx+c (a≠0) とおける。 条件f(0)=1より、c=1。 f(x)=ax^2+bx+1より F(x)=(a/3)x^3+(b/2)x^2+x+A f'(x)=2ax+b これらを条件F(x)=(1/3)(x-2)f(x)+f'(x)+3に代入すると、 (a/3)x^3+(b/2)x^2+x+A =(1/3)(x-2)(ax^2+bx+1)+2ax+b+3 ⇔2ax^3+3bx^2+6x+6A=2ax^3+2bx^2+2x-4ax^2-4bx-4+12ax+6b+18 ⇔(4a+b)x^2+(-12a+4b+4)x+6A-6b-14=0 これがxの恒等式であるから、 4a+b=0 -12a+4b+4=0 6A-6b-14=0 これらより、a=1/7、b=-4/7 ∴f(x)=(1/7)x^2-(4/7)x+1

if-so-at
質問者

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助かりました。 ありがとうございました！

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その他の回答 (1)

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.1

F(x)= の式を両辺微分して、 そこへ f(x)=a(x-2)~2+b(x-2)+c を 代入してしまおう。

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