微分について

質問

すべて∞で表します。

(1)
|r|<1のとき、Σ(n=1)r＾(n-1)について

参考書の答えに
Sn= (1-r＾n)/1-rと書いてあるのですが、これはどうやってでたのですが？？
わかりません

答え　lim(n→∞)Sn=1/1-r
(2)
|r|<1のとき、Σ(n=1)nr＾(n-1)について

記号の微分のしかたがわかりません

答え　lim(n→∞）Tn=1/(1-r)＾2
(3)
Σ(n=1)　1/{n(n＋1)}について

これもよくわかりません

答え
Σ(n=1)１―1/n＋1

親切におねがいします

回答No.5

Rossana

補足回答大変遅くなりました．適切な補足回答ではありませんが，以下の事項を試みてもう一度僕の回答を見直してください．
まず，電卓で
1÷99，1÷999，1÷9999，…とだんだんと9の数を増やして計算して見て下さい．
そうすれば何か見えてくると思います．
そして,Σは具体的な式に直してもう一度計算して見て下さい．
それでもよく分からなかったらまた回答します．
では，頑張って下さい！

回答No.4

Largo_sp

教科書の基礎の部分から練習問題をやり直した方がいいですよ...

|r|<0の時、lim(n→∞)r^n=0　は、
次の問題のどこまで解かるかですね...
lim(n→∞)2^n
lim(n→∞)(1/2)^n
lim(n→∞)a^n (a>1)
lim(n→∞)1/(a^n) (a>1)
lim(n→∞)a^n (0<a<1)

(2)
Tn=Σ[k=1 To n]Kr＾(k-1)
とおくと
rTn=Σ[k=1 To n]Kr＾k
Tn+1=Σ[k=1 To n+1]Kr＾k ですよね
それで、rTnは、Tn+1より初項の分だけ少なくて、最終項はKr^nだから、
rTn=Σ[k=1 To n+1]{kr＾(k-1)-k}
=Σ[k=1 To n+1](k-1)r＾(k-1)

で、両方引いて
Tn-rTn=(1-r)Tn=.....
(3)
もしかして...
lim(n→∞)(1+1/n)=1
とかわかりませんか??

回答No.3

Rossana

誤りを訂正します
(2)Tn＝d{(1-r＾n)/1-r}/dr
＝{-nr^(n-1)(1-r)-(1-r^n)(-1)}/(1-r)^2

∴lim(n→∞)Tn={0-(1-0)(-1)}/(1-r)^2
＝1/(1-r)^2

注；lim(n→∞)nr^(n-1)＝0 (|r|<1)
を
(2)Tn＝d[{1-r＾(n+1)}/(1-r)}/dr
＝[-(n+1)r^n(1-r)-{1-r^(n+1)(-1)}]/(1-r)^2

∴lim(n→∞)Tn={0-(1-0)(-1)}/(1-r)^2
＝1/(1-r)^2

注；lim(n→∞)(n+1)r^n＝0 (|r|<1)
に訂正して下さい．

また(3)は
Σ(n=1)1/{n(n＋1)}について
Un＝Σ[ k=1 to n]1/{k(k＋1)}とおくと
Un＝Σ[ k=1 to n][1/k－1/(k＋1)]
＝{1－1/2}
　＋{1/2－1/3}
＋…
…＋{1/(n-1)－1/n}
＋{1/n－1/(n＋1)}
＝１－1/(n+1)
このまま
∴lim(n→∞)Un＝１
の方が分かりやすいかもしれませんね．

補足

詳しい回答ありがとうございます
(1)
|r|<1のとき、Σ[n=1 TO　∞]r＾(n-1)を求めるとき

|r|<1のときｒ＾n→0（ｎ→∞）であることがわかりません。

答えは
lim(n→∞)Sn=1/1-r

(2)
|r|<1のときΣ[n=1 To ∞]nr＾(k-1)
を求めるには
Tn=Σ[k=1 To n]Kr＾(k-1)
とおくと
rTn=Σ[k=1 To n]ｋｒ＾k
=Σ[k=1 To n+1] (k-1)r＾(k-1)
上の
＞rTn=Σ[k=1 To n]ｋｒ＾kから
Σ[k=1 To n+1] (k-1)r＾(k-1)になるのがわかりまえん。

と考えて
Tn-rTn=Σ[K-1 To n]kr＾(k-1)
-Σ[k-1 To n+1](k-1)r＾(k-1)
=Σ[k=1 To n]r＾(k-1) -nr＾n

二つの式を引き算すると
＞=Σ[k=1 To n]r＾(k-1) -nr＾n
になる計算方法がわかりません
よって、
rキ1のとき
Tn=(sn-nr＾n)/1-r

上の
>Tn=(sn-nr＾n)/1-rはどのように現れたかわかりません

(3)
Σ[n=1 To ∞] 1/n(n+1)について求めるには
1/k(k+1)=1/k - 1/(k+1)
であるから

Σ[k=1 To ∞]　1/k(k+1)=Σ（1/k - 1/(k+1)
=(1/1 - 1/2)+(1/2 -1/3)+…　+(1/n - 1/n+1)
=1- 1/(n+1)
まではわかり
n→∞
のとき解は１になるのがわかりません

回答No.2

Rossana

(1)|r|<1のとき、Σ(n=1)r＾(n-1)は
Sn＝Σ[k=1 to n]r^(k-1)とおくと
Sn＝１＋r＋r^2＋…＋r^(n-1)
rSn＝　　r＋r^2＋…＋r^(n-1)＋r^n
なので，辺々引くと
(1-r)Sn＝1-r^n ∴Sn＝(1-r^n)/(1-r)

｜r|<1よりlim(n→∞)r^n＝0だから
Σ(n=1)r＾(n-1)＝lim(n→∞)Sn=1/1-r

(2)|r|<1のとき、Σ(n=1)nr＾(n-1)について
Tn＝Σ[k=1 to n]kr^(k-1)とおくと，
(1)で使用したSnを用いて
Sn+1＝１＋r＋r^2＋r^3…＋r^n
の両辺をrで微分して
dSn+1/dr＝1＋2r＋3r^2＋…＋nr^(n-1)
＝Σ[k=1 to n]kr^(k-1)
＝Tn
つまり，
Tn＝d{(1-r＾n)/1-r}/dr
＝{-nr^(n-1)(1-r)-(1-r^n)(-1)}/(1-r)^2

∴lim(n→∞)Tn={0-(1-0)(-1)}/(1-r)^2
＝1/(1-r)^2

注；lim(n→∞)nr^(n-1)＝0 (|r|<1)

(3)
Σ(n=1)1/{n(n＋1)}について
Un＝Σ[ k=1 to n]1/{k(k＋1)}とおくと
Un＝Σ[ k=1 to n][1/k－1/(k＋1)]
＝{1－1/2}
　＋{1/2－1/3}
＋…
…＋{1/(n-1)－1/n}
＋{1/n－1/(n＋1)}
＝１－1/(n+1)＝n/(n+1)

∴lim(n→∞)Un＝１

回答No.1

noname#24477

微分と書いてありますが
直接微分の問題とは関係ないです。

第ｎ項までの和を求めて、その極限の問題です。

（１）等比数列です。

（２）等比数列じゃないけどその応用
Ｓｎに対してｒＳｎを作って引く
大学入試によくあるパターン

（３）部分分数に分解