多様体についての質問です

質問

次の問題を考えているのですがわかりません。

問．メビウスの輪は集合M＝[a,b]×R^1をすべてのｔ∈R^1に対して、(a,t)と(b,-t)とを同一視して得られる。点P＝(a,p)～(b,-p)の近傍を
U(P)=([a,a+δ)×(p-ε,p+ε)) ∪ ((b-δ,b]×(-p-ε,-p+ε))
とし、他の点では普通に定めてMはハウスドルフ空間となる。

このときMは多様体となることを示せ。

開被覆とそれから求める推移関数（張り合わせ関数）を求めたいんですがどのように考えればいいんでしょうか？

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

>トーラスは
>[a,b]×R^1をすべてのｔ∈R^1に対して、
>(a,t)と(b,t)とを同一視して得られます．

申し訳ない．
トーラスは「上と下」もくっつけるから
[0,1]×[0,1]に対して
(0,t)と(1,t)とを同一視
(t,0)と(t,1)とを同一視だった．

メビウスに関しては
>[0,1] x [0,1]で，[0,t]と[1,1-t]を同一視することなので
この定義の方がたぶん一般的だと思うけど
これだと「境界付き多様体」になるからちょっと
問題のとは違いました．

けど，ひとまずは[0,1] x [0,1]から作ったメビウスを
絵に描いてどういうのが座標近傍になるのか
いろいろお絵かきしてみる（これが計算に相当する）のを
お勧めします．そうするとほとんど当たり前というか
多様体の定義が実に巧妙なのがわかります．

お礼

回答ありがとうございます！

何度も申し訳ありません・・・
回答者様の回答を参考に今日考えてみようと思います！
また何かあったら補足に書きたいと思いますのでよろしくお願いします。

補足

解決しました！
丁寧に教えて下さってありがとうございました。
今関数解析の勉強をしてるのですがさっぱりです。。また質問を載せるかもしれないので時間があればかまってやって下さい。。

回答No.1

kabaokaba

U(P)がどうしてそういう形になってるか分かりますか？
絵を描きましょう．
R^1の方をひっくり返してくっつけてるのが分かりますか．
U(P)がどういう集合が図でかけますか？
それさえわかれば，開被覆も座標変換も自明です．
＃具体的に式で書くならほとんど一次変換でしょう．

商空間にする前の[a,b]xR^1の状態で考える方が楽かもしれません．

位相空間の問題のときにいったように
理解するために具体的な数で計算するのは
この場合も有効です．
分かりにくいならまずはトーラスで考えるのも有効です．
トーラスは
[a,b]×R^1をすべてのｔ∈R^1に対して、
(a,t)と(b,t)とを同一視して得られます．

また，メビウスの帯は
[0,1] x [0,1]で，[0,t]と[1,1-t]を同一視することなので
この方が見やすいかも．
＃この場合，トーラスは[0,t]と[1,t]を同一視．