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数学の解析の重積分分野についての質問です。
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>Fは不等式0≦x≦y≦z≦a >積分範囲の出し方がよくわからないので詳しく教えて下さい。 ひとつずつ考えていってみてください。 1) xだけを変数と見ます(y、zは定数とします)。 ⇒ 0≦x≦y (xの積分範囲) 2) xを忘れて、yだけを変数と見ます(zは定数とします)。 ⇒ 0≦y≦z (yの積分範囲) 3) x、yを忘れて、zだけを変数と見ます。 ⇒ 0≦z≦a (zの積分範囲) ここから、積分の式を次のように書き換えます。(#2さんと同じ式です。) ∫[0→a]dz ∫[0→z]dy ∫[0→y] dx (x+y) =a^4/8 もし積分範囲に不安があって、積分範囲の図形の体積が簡単に求められる場合は、被積分関数を 1 と置き換えて 積分結果が体積に一致するか確認してみてください。 この問題のケースでは、積分範囲は三角錐で体積は a^3/6 となって一致します。
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- endlessriver
- ベストアンサー率31% (218/696)
∫[0,a]dz∫[0,z]dy∫[0,y]dx(x+y) #1の方の条件ですとz=0のとき、y=a となり、条件を満たさず。
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
>不等式0≦x≦y≦z≦a の領域を三次元xyz座標空間で考えて下さい。 その領域をx,y,zのどの順序でもいいですから、逐次積分していけば自ずと積分範囲が決まります。 例えばx,y,zの順でに逐次積分するのであれば 先ずx,y,z座標空間での積分領域(逆さの三角錐の立体の内部)を描いて 積分範囲を決めていきます。 y,z固定して x:0→y 次に zを固定して y:a-z→a 次に z:0→a 以上を逐次積分で表せば I=∫[0,a]{∫[a-z,a]{∫[0,y](x+y)dx}dy}dz=(3/8)a^4 となる。 逐次積分の積分変数の積分順序の選択は色々ありますので、積分がより 容易な順序を選択すれば良いですね。 他の順序でもやってみて下さい。
補足
解答ありがとうございます。 大体の流れはわかったのですが、まだわからない部分があります。 0≦x≦yは理解できたのですが、z-a≦y≦aになる理由がわかりません。
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お礼
なるほど! わかりやすい解答どうもありがとうございます! また機会があればよろしくお願いします!