カルダノ解法

質問

x^3+2x^2+2x-4=0

のコンパクトな解答方法あれば教えて下さいm(__)m

回答No.2

alice_38

その実係数三次方程式は、１実２虚解を持つタイプなので、
山勘でパッと１次式×２次式に因数分解できるのでなければ、
タイトル通りのカルダノ法が、一番簡明かと思います。

f(x) = x^3 + 2x^2 + 2x - 4 と置いて、
df/dx = 3x^2 + 2x + 2;　判別式 = 2^2 - 4・3・2 = -20 < 0 より、
解が１実２虚であることが分かります。
この実数解は、f(0) = -4 < 0 < 1 = f(1) により、
0 < x < 1 の範囲にあります。
その一方で、
整係数方程式の有理数解は、(定数項の約数)/(最高次項の係数の約数)
という形をしていることが知られていますから、
f(x) = 0 に、有理数解はありません。
よって、山勘やタスキガケでの因数分解は期待できません。

…この辺で、カルダノ法が一番かなぁ という話になる訳です。
１実２虚解の場合、補助方程式が２実解を持つ二次方程式に
なりますから、カルダノ法の実行は比較的容易だし、
後から虚部が消えてゲンナリということも起こりません。

回答No.1

info22

解法は決まっているので、コンパクトな解答方法は特にありません。