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- sanori
- ベストアンサー率48% (5664/11798)
No.1、4の者です。 >>>教科書って数IIICですか? >>>もしそうなら私文系だったんで、ないんですよm(__)m そうでしたか。 ちなみに、私が高校生の頃は、微分は数IIIからだったと思います。 (年がバレますが) >>>大学でやってるんですけど、教科書には分かりにくく書いてあって… はい。私は理系ですけど、同感です。 大学の先生や教科書は「かっこつけた説明」しかしてくれない場合が多いので、困りますよね。 ちなみに、x=sint や x=cost と置いてみるのも面白いですよ。(符号がちょっとややこしくなりますが) なお、No.5様のご指摘は全くそのとおりだと思います。 √x の形の微分だけ考えてみましょうか。 途中で、(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 が登場します。 (√(x+h) - √x)/h = (√(x+h) - √x)(√(x+h) + √x)/{h(√(x+h) + √x)} = ((x+h) - x)/{h(√(x+h) + √x)} = h/{h(√(x+h) + √x)} = 1/(√(x+h) + √x) よって、 (x^(1/2))’ = (√x)’ = lim[h→0] (√(x+h) - √x)/h = lim[h→0] 1/(√(x+h) + √x) = 1/(√x + √x) = 1/(2・√x) = 1/2・x^(-1/2) というわけで、 (x^(1/2))’ = 1/2・x^(-1/2) となりますので、1/2乗の微分を整数乗と同じようにやってよいことがわかりました。
- alice_38
- ベストアンサー率43% (75/172)
いけね。「分子の有理化」でした。
- alice_38
- ベストアンサー率43% (75/172)
合成関数の微分を使うにしても、 n が自然数でないときにも (d/dx) x~n = n x~(n-1) が成り立つ ことには、説明が要るかもしれません。 {√(1-(x+h)~2) - √(1-x~2)}/h の 分母を有理化してから、 h→0 の極限を考えてみましょう。
お礼
ありがとうございます!
- sanori
- ベストアンサー率48% (5664/11798)
すみません。最後、頭にマイナスを付け忘れました。 正しくは、-2x/√(1-x^2) です。
- teruta
- ベストアンサー率65% (13/20)
ルートは2分の1乗と書く事ができます。 なので f=(1-x^2)^(1/2)の微分をすればいいわけです 1-x^2をAと置くと、合成関数の微分法を用いて f(A(x))のx微分=fのA微分×Aのx微分 fのA微分=(A^1/2)'=(1/2)×A^(-1/2) Aのx微分=(1-x^2)'=-2x これをかけあわせて f'(x)=-2x×(1/2)×A^(-1/2) =-x×A^(-1/2) マイナス乗は分数で、1/2はルートなので戻すと =-x/√A Aを元に戻して、微分の結果は =-x/√(1-x^2) となります。
お礼
ありがとうございます(^O^)/
- Willyt
- ベストアンサー率25% (2858/11131)
0です(^_-) 変数がないと微分は常にゼロになります。
お礼
申し訳ありませんが、答えは0ではないです(T_T)
- sanori
- ベストアンサー率48% (5664/11798)
こんにちは。 平方根は、1/2乗であること、 そして、「合成関数の微分」(教科書に書いています) を知ることで解決できます。 1-x^2 = t と置きます。 すると、 dt/dx = -2x ですよね? そして、与式をyと置けば、 y = √t = t^(1/2) なので、 dy/dt = 1/2・t^(-1/2) = 1/(2・√(1-x^2)) よって、 dy/dx = dy/dt・dt/dx = 1/(2・√(1-x^2))・(-2x) = 2x/√(1-x^2) ご参考になりましたら幸いです。
補足
丁寧にありがとうございます。 教科書って数ⅢCですか? もしそうなら私文系だったんで、ないんですよm(__)m 大学でやってるんですけど、教科書には分かりにくく書いてあって…
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