7角形以上の図形で平面充填

質問

平面充填（tiling）の勉強をしているのですが、『７角形以上の図形は平面充填不可能』の証明はどうすればいいですか？

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

証明の方針だけですが・・・

ｎ角形ｋ個で十分広い領域を敷き詰めたとすると、
その内角の和の合計は、π(n-2)k

凸多角形の場合は、多角形の各角を共有する多角形の数は少なくとも３つ必要です。
従って、ｎ角形ｋ個を敷き詰めたときの境界点の数は、nk/3個以下であることになり、
境界点回りの角度の合計は、2πnk/3 以下となります。

ｋが十分大きい場合、
2πnk/3≧π(n-2)k　（または　2πnk/3≒π(n-2)k）
とならなければなりませんが、
2πnk/3-π(n-2)k=π(6-n)k/3
なので、
n≦6でないと成立しません。

実際の証明は、有限な領域で、一番外側の多角形の角度をどのように扱うかをきちんと考えないといけませんが。

お礼

ありがとうございます。

なんかすっきりしました。

回答No.1

ORUKA1951

『７角形以上の図形は平面充填不可能』ではありませんけど？？
平行六辺形を対称な二つに分割した７角形も平面充填可能です。

お礼

ありがとうございます。
凸多角形だということを表記し忘れてました。