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7角形以上の図形で平面充填

平面充填(tiling)の勉強をしているのですが、『7角形以上の図形は平面充填不可能』の証明はどうすればいいですか?

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  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)
回答No.2

証明の方針だけですが・・・ n角形k個で十分広い領域を敷き詰めたとすると、 その内角の和の合計は、π(n-2)k 凸多角形の場合は、多角形の各角を共有する多角形の数は少なくとも3つ必要です。 従って、n角形k個を敷き詰めたときの境界点の数は、nk/3個以下であることになり、 境界点回りの角度の合計は、2πnk/3 以下となります。 kが十分大きい場合、 2πnk/3≧π(n-2)k (または 2πnk/3≒π(n-2)k) とならなければなりませんが、 2πnk/3-π(n-2)k=π(6-n)k/3 なので、 n≦6でないと成立しません。 実際の証明は、有限な領域で、一番外側の多角形の角度をどのように扱うかをきちんと考えないといけませんが。

satoki84
質問者

お礼

ありがとうございます。 なんかすっきりしました。

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その他の回答 (1)

  • ORUKA1951
  • ベストアンサー率45% (5062/11036)
回答No.1

『7角形以上の図形は平面充填不可能』ではありませんけど?? 平行六辺形を対称な二つに分割した7角形も平面充填可能です。

satoki84
質問者

お礼

ありがとうございます。 凸多角形だということを表記し忘れてました。

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