Jensenの不等式の定義について
- Jensenの不等式は、実数上の凸関数において、重み付きの平均値が関数の平均値以上であることを表す不等式です。
- 具体的には、実数の列と重みの列が与えられた場合、重み付きの関数値の総和が関数の重み付きの変数の総和の関数値以上になることを示します。
- 一般的なJensenの不等式では、重みの列は非負数であるという制約がありますが、拡張版では非負数でなくても成り立ちます。
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Wikipediaの「Jensenの不等式」の定義について
wikipediaで「Jensenの不等式」について f(x)を実数上の凸関数とする。 p_1,p_2,・・・をp_1+p_2+・・・＝1を満たす実数の列とする。 またx_1,x_2・・・を実数の列とする。 その時 Σ[i=1→∞]p_if(x_i)≧f(Σ[i=1→∞]p_ix_i) が成り立つ。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%82%BC%E3%83%B3%E3%81%AE%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F となっています。 普通「Jensenの不等式」は「p_1,p_2,・・・≧0」という条件が付くと思うのですが、拡張版では「p_1,p_2,・・・は非負数」という条件は要らないのでしょうか？ 私にはWikiの定義は間違えてるような気がするのですが、もしかしたら私の勘違いかもしれないと思って質問しました。 どうなのでしょうか？ よろしくお願い致します。
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wikipediaの記載もれでしょう。 p_1,p_2,・・・≧0でない場合は、 Σ[i=1→∞]p_if(x_i)≧f(Σ[i=1→∞]p_ix_i) が成立しない反例は簡単に見つかりますから。
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お礼
どうもありがとうございます。 やはりwikiのミスですよね。 こうゆうパターンだと私の勘違いということの方が圧倒的に多いのですが、安心致しました。 どうもありがとうございました。