- ベストアンサー
α+β+γを求める問題
加法定理の問題です。わからないので教えてください。 0=<α=<90°、0=<β=<90°、0=<γ=<90°でtanα=2、tanβ=5、tanγ=8とする。つぎの値を求めよ。 (1)・・・ (2)tan(α+β+γ) (3)α+β+γ とあり、それぞれの問題はその答えを使って問題を解いていきます。(3)で悩んでいます。 (2)の答えは、1です。 tanθ=1 θ=45°、225°ということがわかりました。α+β+γも同じ度ですよね? 解答は、225° 解説では、2=tanα<tanβ<tanγから、 45°<α<90°、45°<β<90°、45°<γ<90° よって 135°<α+β+γ<270° ゆえに(2)からα+β+γ=180°+45°=225°
- 数学・算数
- 回答数4
- ありがとう数4
- みんなの回答 (4)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
#1です. でも,なぜ >tanα=2>tan45°=1 から,α,β,γはすべて鋭角でも, α+β+γ>45°(本当はさらに3×45°よりも大) に気づかないといけないわけです. という話になるのでしょう. それは,先に「犯人はただ一人」という結論があるからなのです. >=<α=<90°、0=<β=<90°、0=<γ=<90°でtanα=2、tanβ=5、tanγ=8とする。 これを見た段階で,α,β,γは第1象限(0°<θ<90°)であることは分かり,それぞれただ1つの角α,β,γが決まります. すると,α+β+γもただ1つであることは最初から見えているわけです. そうすると,2人以上容疑者が出たら,どちらかはシロで一方のみがクロですから,不適である方を排除する理由(言い訳)を探すことになるわけで, 解説の >解説では、2=tanα<tanβ<tanγから、 45°<α<90°、45°<β<90°、45°<γ<90° よって 135°<α+β+γ<270° これは,単なる必要条件で,シロの方(45°の方)を捨てるうまい口実が見つかればそれでよいわけです. だから,役に立つ限りの一番甘い制限としては #1の tanα=2>tan45°=1 ⇒α>45° β≧0,γ≧0より α+β+γ>45° でも間に合うし, もっと厳しい評価をしたければ 0≦θ<90°で tanθは単調増加より tan60°=√3<2=tanα<tanβ<tanγから 60°<α<β<γ<90° から 180°<α+β+γ<270° とやってもよいわけです(今の目的に対してはかなりムダですが). この問題では最初に信念ありき.「犯人はただ一人」 でも一般には2つ以上解がある問題もありますので,よく状況を見てくださいね.
その他の回答 (3)
- mmky
- ベストアンサー率28% (681/2420)
回答は出ていますので参考程度に 0=<α=<90°、0=<β=<90°、0=<γ=<90°でtanα=2、 tanβ=5、tanγ=8とする。つぎの値を求めよ。 (3)α+β+γ 記号にとらわれてしまうんですよね。たまには電卓を使って直接やってみるのもいいんですね。 tan^-1(2)=α=63.435 tan-1(5)=Β=78.69 tan-1(8)=γ=82.875 α+β+γ=225 tan(225)=1 ということで225は自明になりますね。
お礼
うまい。。そういう考え方もあるのですね。いい話のネタになります(▼▼)
どこで悩んで居られるのかわかりません。 みんな第1象限の角です。 tanの値は角が大きいほど大きくなります。 tan45°=1ですから 3つとも45°より大きいことが わかります。 足して135度より大きいことがわかります。 解説の通り 135°<α+β+γ<270° ですね。
お礼
回答ありがとうございました。言われてみればそのとおりでした。ようやく納得できました。
- oshiete_goo
- ベストアンサー率50% (374/740)
大抵の人が一度は「あれっ」と思うところですね. 経験者語る. tanα=2>tan45°=1 から,α,β,γはすべて鋭角でも, α+β+γ>45°(本当はさらに3×45°よりも大) に気づかないといけないわけです. 解の候補が2つ以上出てきたときは特に 1)どちらも適する 2)一方(ないしは一部)のみ,ある理由で適し,他は不適 3)どれも不適 などのケースがあるので,条件をよく見てみると良いでしょう.
お礼
いつもわかりやすい回答をありがとうございます。そういう考えを改めて知りました。
関連するQ&A
- 三角比の問題がわかりません
0<α,β<π/2とし、tanα=1/5,tanβ=2/3とする。このときα+βを求めよ。 という問題についてなんですが、 加法定理を利用して tan(α+β)=1 となることまではわかりました。 その後、解説を読むと 0<α,β<π/2より 0<α+β<π よってα+β=π/4 となっていますが、なぜ0<α+β<πとなったのかがわかりません… どなたか詳しく教えて頂けると助かります!
- 締切済み
- 数学・算数
- 三角比の問題なのですが・・・
問題: sinπ/5=0.5878,cosπ/5=0.8090,tanπ/5=0.7265の値が分かります。 そのとき、tan(3π/10) の値を求めたいのですが。 1/5πと1/10πに分けると、1/10の値が分からないのです。 また、加法定理は、学習していないとして、この問題をときたいのですが・・・ 教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 加法定理の応用
テスト勉強中に分からない問題がでてきて困っています; 加法定理の応用(2倍角、半角)の問題で 「π/2<θ<π , sinθ=2/3のとき sin2θ , cos2θ , tanθ/2の値を求めよ」 というものなのですが。 sin2θとcos2θの方はそれぞれ解けたのですが、 tanθ/2がどうにも答えが合いません。 まず cosθ =-√1-sin^2θ =-√1-(2/3)^2 =-√5/3 と、cosθをだしました。 次にtanθ/2を二乗して tan^2θ/2 =1-cosθ/1+cosθ =1-(-√5/3)/1+(-√5/3) =1+√5/3/1-√5/3 =3+√5/3-√5 =(3+√5)^2/(3-√5)(3+√5) =9+6√5+5/9-5 =14+6√5/4 二乗をとって tanθ/2 =√(14+6√5)/√4 =√(14+2√45)/√4 =√(√9+√5)^2/√4 =√9+√5/√4 =3+√5/2 となったのですが、 解答では tanθ/2 =√(1-cosθ)/√(1+cosθ) =√(5+4)/√(5-4) =3 と書かれていました。 何度計算しても3になりません; どなたか教えていただけると助かります。 宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数の問題の解法を教えてください。
講義向けに配られた、答えの載っていない問題集に以下のような問題がありました。 0≦θ<2πのとき、次の方程式、不等式をそれぞれ解け。 (1)sin(2θ-π/6)=1/2 (2)cos(θ/2-π/3)≦1/√2 (3)tanθ<1 加法定理や三角関数の性質はある程度は覚えているのですが、 この問題はどのような取っ掛かりで解いていけばいいのか全く解りません…… 回答を出すまでの過程を解説していただけるととても助かります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
再び回答ありがとうございました。毎度、助かります。犯人見つけ作戦、いまでも意識するようになりました。これからもその作戦使っていきます。