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積分について質問です
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- info22
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∫dx/sin(x)=∫sin(x)/{sin(x)}^2 dx =∫sin(x)/{(1-cos(x))(1+cos(x))} dx =(1/2)∫[{sin(x)/(1-cos(x))}+{sin(x)/(1+cos(x))}]dx =(1/2){ln(1-cos(x))-ln(1+cos(x))}+C =(1/2)ln{(1-cos(x))/(1+cos(x))}+C したがって, 0<h<k<π/2として ∫[h,k]dx/sin(x) =(1/2)[ln{(1-cos(k))/(1+cos(k))}-ln{(1-cos(h))/(1+cos(h))}] ここで lim[k→π/2] cos(k)=0 lim[k→π/2] ln{(1-cos(k))/(1+cos(k))}=ln(1)=0 lim[h→0] cos(h)=1- lim[h→0] -ln{(1-cos(h))/(1+cos(h))=∞ であるから =∞ (発散)
- suica-zx
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三角関数の積分ですから、tan(x/2)=tと置くと sin(x)=2t/(1+t^2) 1/sin(x)=(1+t^2)/2t (↑この辺は半角の公式を使うとすぐに出ます。) dx=2/(1+t^2) dt となるから ∫dx/sin(x)=∫(2/(1+t^2))dt(1+t^2/2t) =∫dt/t=ln(t) ここで、x:0→π/2 なら、t:tan(0)→tan(π/4) t:0→1となるから x:0→π/2における∫dx/sin(x)は(lnはlog eと同じ) ∫dx/sin(x)=∫dt/t=[ln(t)](t:0~1)=ln(1)-ln(0) となり、ln(1)=0だけど、ln(0)=-∞になるから、ちょっと乱暴な書き方をすると、 ∫dx/sin(x)=∫dt/t=[ln(t)](t:0~1)=ln(1)-ln(0)=0-(-∞)=+∞ となるから、∫dx/sin(x)[x:0→π/2]は発散する。
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ありがとうございます たすかりました
- suica-zx
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三角関数の積分ですから、tan(x/2)=tと置くと sin(x)=2t/(1+t^2) 1/sin(x)=(1+t^2)/2t (↑この辺は半角の公式を使うとすぐに出ます。) dx=2/(1+t^2) dt となるから ∫dx/sin(x)=∫(2/(1+t^2))dt(1+t^2/2t) =∫dt/t=ln(t) ここで、x:0→π/2 なら、t:tan(0)→tan(π/4) t:0→1となるから x:0→π/2における∫dx/sin(x)は(lnはlog eと同じ) ∫dx/sin(x)=∫dt/t=[ln(t)](t:0~1)=ln(1)-ln(0) となり、ln(0)=1だけど、ln(0)=-∞になるから、ちょっと乱暴な書き方をすると、 ∫dx/sin(x)=∫dt/t=[ln(t)](t:0~1)=ln(1)-ln(0)=0-(-∞)=+∞ となるから、∫dx/sin(x)[x:0→π/2]は発散する。
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