- ベストアンサー
ヤコビアンの解りやすい説明が書いてある参考書か、よければ此処で教えてください。
noname#221368の回答
http://oshiete.nikkeibp.co.jp/qa5502090.html で、全微分について質問された方ですよね？。全微分については、すでにわかっているものとして話を進めます。なお自分は、統計，確率は全然詳しくありません。 ＞（ヤコビアンが）全微分の逆と考えられるのか？とか、置換積分のように逆に計算できるのかなど今ひとつ直観的にわからない点・・・ 誰もが一度は通る途だと思いますが、ふつうは「意味を考えるより馴れろ！」、で終わってしまう気もします。 個人的意見ですが、微積と線形代数（線形変換）は腐れ縁です。全微分を理解されたなら、それが関数の1点での局所線形化（1次関数化）だという事は了解できると思います。 例えばz＝f(x，y)において、1点(x0，y0，z0)でfの全微分をとれば、式(1)となります。∂f/∂x，∂f/∂yは、(x0，y0)での偏微分係数です。 式(1)でdx，dyは微小なので、dzも微小です。しかしdx，dyを、無制限に延長したものを（勝手に）想定する事は、可能です。(x0，y0，z0)をfの1点として、式(2)のようにおけば、(1)は、式(3)となります。(2)においてdx，dy，dzは、任意の(x，y，z)の関数なので、もはや微小ではありません。そして(3)の左辺を右辺に移項すれば、接平面の方程式の標準形が得られ、(x0，y0，z0)は接平面の接点です。 なぜ微分するかと言えば、1次関数は「計算できる」からで、1次関数を組織的に扱うのが線形代数です。従って、どんなにぐにゃぐにゃの関数も、関数を微分→1点での線形化（1次関数化）→線形代数に載っけてベクトルと行列で扱う、という手順になります。 2変数の一次関数z＝ax＋byは、行列記法で書くと、式(4)です。なので、式(5)のような一次変換（線形変換）は、(4)のような一次関数の素直な拡張と言えます。 変数変換で現れる関数は、u＝f(x，y)，v＝g(x，y)の類です。(u，v)を微分して線形化します。fとgについて、それぞれ(1)が成り立つので、結果は式(6)です。これは(5)と同じ形をしているので(2)の考えを使うと、(6)は微分の結果現れた、1次関数だと言えます。このとき(6)右辺の行列をヤコビ行列と言いますが（Ｊとします）、ヤコビ行列を全微分係数とみなすのは、正しい考えだと思います。関数がベクトル(u，v)なので、係数をスカラーでは表せなかった、というだけです。 いま(x，y)→(u，v)という関数を考えていますが、これの逆関数(u，v)→(x，y)は存在するか？、という問題があります。微分して考えると1次関数(6)なので、これが(dx，dy)について解ければ良いだろう、という話になり、detＪ≠0（|Ｊ|≠0）が必要条件になります。これは1次関数(5)を、(x，y)＝の式に出来るのと同じ条件ですが、行列式detＪの事をヤコビアンと呼ぶ方が多いようです。従って、関数（変換）と逆関数（逆変換）の関係は、式(7)となり、関数のヤコビ行列の逆行列が、逆関数のヤコビ行列で、行列なので当然、detＪ・detＪ^(-1)＝1になります。（y＝axとx＝(1/a)yで、a・1/a＝1と同じ） 重責分でのヤコビアン意味は、http://homepage1.nifty.com/kumabox/Jacobi_1.htmとhttp://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/150ksk.htmlがわかりやすい気がします。
noname#111804
- noname#111804
- noname#111804
- noname#221368
- noname#111804
関連するQ&A
- 次の確率密度関数を持つ分布の名前を教えてください
x>0の半無限区間で定義された確率密度関数： f(x)=(θ/(2πx^3))^(1/2)exp[-(θ/(2x))*((x-μ)/μ)^2] ただし、θ、μは正のパラメータ を持つ確率分布の名前はありますか？あるなら教えてください。 Levy分布に似ているのかと思いましたが、ちょっと違うようです。 ちなみに密度になることは下の方法で気合で解けました： （1）I=∫_0^∞f（ｘ）dxとおいて、ｘ→μｙと置換する （2）（1）の積分をさらにｙ→1/ｚと置換すると、最初のy^3の項がzに置き換わった式を得る （3） (2)の置換前のIと置換後のIを足して2で割る （4） (3)の式でｙ^(1/2)-(1/y)^(1/2)→ｗと置換すると平均0、分散μ/θの正規分布の密度関数の積分になる 以上より、確かにI=1なので確率密度関数になっている。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 統計学、共分散・相関係数です
Ｙ＝１ Ｙ＝３ Ｘ＝２ ２／８ １／８ Ｘ＝４ ３／８ ２／８ という同時確率分布における共分散と相関係数なのですが…ＸとＹの共分散は１／１６、相関係数は４００／２８９と出たのですが…合ってあるでしょうか？すごく間違ってる気がするのですが(>_<)。 間違えていましたら、正しい答えを教えて頂けたら非常に助かります；。ヒントでも結構です。お願いします！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 非正規母集団の相関係数の有意性検定法について
変量(X,Y)に関する，大きさNのデータが既知であるとき，X, Yの相関係数ρの有意性を検定（無相関検定）する方法を探しています。 ただし，データは標本ではなく母集団であり，X,Yに関して正規分布が仮定できないとします。 無相関を仮定して，相関係数の確率密度分布を求め，その分布を利用して検定する（実際の相関係数ρが分布のどの程度端に存在するかを見る）という方法でよいのでしょうか？ よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 確率密度関数の問題教えてください
同時確率密度関数6(x-y) 0<x<y<1 のX,Yそれぞれについて周辺確率密度関数と期待値と分散を求め、共分散と相関係数を求めよ。 Xの期待値がゼロになったり、Yの期待値がマイナスの値になってしまったのですが、良いのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 文系の統計学
当方文系ですが、文理融合の専攻に進学することになりました。「数理統計学」が必修となっているのですが、初めて取り組むことになります。シラバスには「微積分と線形代数をよく復習してから受講すること」と記載されていますが、どちらも全く経験ありません。現在、公文式に行って、やっと因数分解ができるようになりました。（公文式は質問ができない雰囲気なので、近々やめる予定です。） そこでご質問ですが、１．このような段階から、どのように「微積分と線形代数」を経て、数理統計学へ学習を進めていけばよいのか。２．予備校や学習塾で学ぶとしたら、どこがよいか。以上の2点について、ぜひ教えていただきたいです。どうぞよろしくお願いします。因みに数理統計学の内容は、以下のとおりです。 ●基礎礎統計（集合基礎論、確率、確率変数、確率密度関数、種々の確率分布、中心極限定理、母集団と標本、点推定、区間推定、推定法、有意水準、第一・二種の誤り、片側・両側検定、正規分布の平均・分散の検定、連続変数の相関（散布図、今日分散、相関係数、検定、離散変数の相関（クロス集計、関連性係数、検定） ●重回帰分析（単回帰分析、目的関数の定式化（最小自乗法、最尤法など）パラメーターの推定と検定、回帰診断、説明変数の選択、構造変数） ●その他（クロス表の多変量解析、様々な多変量解析）
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 正規分布の３σ以内の確率
質問させていただきます。 ふと気になって、手計算で正規分布の確率密度関数において３σまでに入る確率を求めようと思ったのですが、置換積分（の積分範囲）がうまくいきませんでした。 一般的にこのような積分は数値計算以外では不可能でしょうか。積分範囲が無限大なら積分可能なのはわかるのですが・・・。 よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- Mathematicaによる乱数生成について
Mathematicaを用いて正規分布に係数をかけた物に従った乱数を生成したいのですが、ヘルプを調べても分からず困っています。 具体的に行いたいことは、 RandomReal[1/3*NormalDistribution[0,10], 100] ~~~ のような事です。 正規分布の確率密度関数(平均0，分散10)に係数(ここでは1/3)をかけた分布に従う乱数を１００個生成したいということです。 どなたか解決方法をご存知の方がいらっしゃいましたらよろしくお願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 連続と離散の確率分布の関数について
確率変数が連続量（実数）の場合と離散量（例：サイコロ）の場合があります。 連続型の確率分布の場合、確率密度を例えば∞からaまで積分したものを確率分布P(a)としているのではないでしょうか。連続量ですから微分とか積分となじみます。 一方で離散量（例：サイコロ）では、変数と言っても1,2,3,4,5,6しかありません。、確率分布は1/6の等分布です。離散量ですから微分もできず、そういう意味で確率密度関数もないようなのですが、確率質量関数というものがあるようです。これは昔からあるものでしょうか。テキストには載っていないようです。確率の説明では常にサイコロを用いた離散量での説明が教科書に載っています。そのため確率質量関数は出てきておかしくないのにあまりなじみがないように感じています。これは昔からずっとあるものでしょうか。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございました。 2重積分の変数変換は、原始関数からの線形変換の逆と考えれば良いのですね。あと、微分は関数の1点での局所線形化で全微分の式も、dx,dy,dzもそれぞれ(x-x0)のように長さを自由にすれば、基準点x0を原点と擬制した一次近似式と同じですね。 っていうか、だから線形化かｗ さらに、線形写像は像を変化させたとき写像がどのように変化するかをy=kxで現すわけだから、du=fxdx+fydy,dv=gxdx+gydy でx,yの変化がu,v上でどのように変化するかを線形代数で表すわけですね。 ただ、ヤコビアンを使って積分計算をする場合に、ヤコビアンの行列式を解いて固有値していますが、これの意味があまりわからないです。 とりあえず、線形代数の知識がかなり不足しているので、もう一度、線形代数の本を読んでみようと思います。 お時間あれば、また、なぜ行列式を解くのか？上の説明ではj^-1だが2重積分においては|j|になるのか？ 教えてください。