- 締切済み
偏微分方程式の数値解法
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
みんなの回答
- spring135
- ベストアンサー率44% (1487/3332)
>分割幅が小さいほうが誤差が大きくなる時があるのでしょうか 条件が正しい場合、一般論としてこのようなことはありません。 分割を小さくしすると誤差は小さくなっていきます。ただし、ある分割数以上では大きくなることがあります。これは分割をかなり小さくしすぎた場合で、5→10→20→40程度ではおきません。 そこで確認事項ですが、 1)真値と言っているのは解析解ですか。 2)境界条件の処理は正しく行っていますか。 3)単精度では心もとないところがあるので、倍精度を使っていますか。 4)分割数をさらに増やしていくとどうなりますか
その種の計算をしたことがないのでよくわかりませんが、 分割数が大きい場合、桁落ちや情報落ちの影響が表面化する可能性はないのでしょうか? できれば単精度計算と倍精度計算の結果を比べてみるとヒントになるかもしれませんね。
関連するQ&A
- 偏微分方程式の数値解法
偏微分方程式の込み入った質問です。 2次元(x,y)の空間で2つの関数f(x,y),g(x,y)を考えます。 そこで、それぞれにラプラス方程式を立てました。 fxx+fyy = 0 (1) gxx+gyy = 0 (2) です。これは境界値問題で、差分式からSOR法を使って収束計算によって数値解を求めることができます。f, gはそれぞれ独立という形にはなります。 そこにもう1つ式が出てきました。 fxfy + gxgy = 0 (3) というものです。f,gをx,yで1回微分してできる式です。 都合3つの式が出てきました。 この数値解を求めるにはどのような方法があるでしょうか。 数値解ですから近似解です。 3つ目の拘束条件の下でのラプラス方程式とみると、ペナルティ関数とかラグランジュの未定係数法とかいろいろあるかもなと思いますが。 3つ目の式は完全に満たすというより、できるだけ満足するようにしたいというものです。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数値解析 微分方程式
数値解析における常微分方程式を解くために用いる手法についてです。 オイラー公式、ホルン公式、ルンゲクッタ、ルンゲクッタ4次、有限差分法の関係 違いがよくわからなのでどなたか教えてください また常微分方程式を有限差分で解くとなったとき、結局オイラー公式などを使うと言う認識で間違いないでしょうか?それとも有限差分だけで解けるのでしょうか
- 締切済み
- 数学・算数
- 数値解法
差分法などで一様磁界を与えた時の 媒質内の数値解析を行うとき、 この時の境界条件は 媒質から空気に電流が流れない ⇔ J=σE=0 より E=0 でいいんですよね?つまり E=-∇V - ∂B/∂t =0 ∴∇V=-B/∂t =-jωA (A:ベクトルポテンシャル) ⇔ V1-V2=-jωA*L (L:V1とV2の間隔) となりますが。。。 これを境界条件としてあたえ 連立方程式を作ったら、方程式の左辺行列が正則になって しまい、解けません。 試しに、どこか一つのポテンシャルに Vn=0 という条件を与えたらたちどころに解けたのですが かなりの誤差がでてしまいました。 ノイマン境界条件だけで、 解くのは不可能なのでしょうか? かなり漠然とした質問ですが どなたかご理解なされたならば ご指導願いたいと思います。
- 締切済み
- その他(学問・教育)
- ラプラス方程式に関して
こんにちわ. ラプラス方程式に関して,分からないことがあるため,質問させてください. 電磁気学でのラプラス方程式は電荷分布がない空間内において,境界条件を決めることで,その空間内での電位分布を計算することが出来ると思います. このラプラス方程式は電気回路でも成立するのでしょうか? たとえば,抵抗が格子状に無限に接続された電気回路において,任意の2点間に電位差Vが与えられているとします. このとき,その周囲の格子点での電位はラプラス方程式から求められるのでしょうか? ご存知の方もおられると思いますが,これは無限抵抗格子の電位差を求める問題の解法の冒頭にある記述です. ここでは問題を解く前提として,格子点の電位はラプラス方程式を満たすという説明がありますが,ラプラス方程式を電気回路に適用しているテキストなどが見受けられなく,電磁気学でのラプラス方程式がどのようにして電気回路に適当されるかがよくわかりません. 詳しい方がおられましたら,教えてください.
- 締切済み
- 物理学
- 数値計算であらわれる誤差について
数値計算であらわれる誤差について調べています。差分法、有限要素法、境界要素法それぞれにおいてどのように誤差があらわれるのか教えてください。
- 締切済み
- その他(学問・教育)
- 数値微分法についてです。
数値的に微分を評価する時に、中心差分を使っているのですが、 どう考えても数値誤差としか思えない結果しかでません。 区切り幅は誤差が最も小さくなるように選んでいます。 中心差分よりも精度の良い数値微分法があれば教えていただけないでしょうか。 評価する関数は解析的に与えられておらず、補間して得られるようなものです。 (補間の精度にもよるのだと思いますが・・・)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 偏微分方程式のラプラス変換による解法
皆様よろしくお願いいたします。 関数u(x,t)のtに関する偏微分∂u/∂t=u_t、とxに関する2回偏微分∂^2 u/∂x^2=u_xxとおくとき 偏微分方程式 u_t = a*u_xx (aは正の定数) 初期条件:u(x,0) = 0 境界条件:∂u/∂x = u_x = -k (kは正の定数) lim[x→∞]u(x,0) = 0 をラプラス変換して解を求めようとしてますが、ラプラス変換した式が導けません。 偏微分方程式の解は分かっていているので、解をラプラス変換すると答えは次式になるようです。 U(s,x) = k√a・exp( -x*√(s/a) ) / s^(3/2) どのように導けばこうなるのかご教示ください。 ちなみに偏微分方程式の解は次式になります。(上式に入れて成り立つことを確認済み) u(x,t)=2k√(at/π)・exp(-x^2/(4at)) - kx・erfc(x/√(4at)) (※erfcはガウスの余誤差関数です) 【途中までやってみた計算経過】 偏微分方程式を→s、x→yへそれぞれラプラス変換して整理すると U(s,y)=ak/{y(y^2-s/a)} となりました。これをy→xへラプラス逆変換すると U(s,x) = -ka^2/s + ( ka^2/(2s) ) exp(-x√(s/a) ) + ( ka^2/(2s) )exp(x√(s/a) ) となり、答えになりません。 しかもこれだと3項目が境界条件lim[x→∞]u(x,0) = 0に従わず∞に発散してしまいます。
- 締切済み
- 数学・算数
- 偏微分方程式 陽解法について
温度伝導率a=1、刻み幅Δx=0.5、Δt=0.05とした時の温度変化を求めよ。 ここで境界条件T(0、t)=0、T(1、t)=1、初期条件T(x、0)=0とする。 差分式を整理して Ti,n+1 =Ti,n + 1/5(Ti+1,n ー 2Ti,n + Ti-1,n) となりました。このあとどうすればいいかわかりません、、、T1,0やT2,0はどうすれば求まるのでしょうか。教えて欲しいです。
- 締切済み
- 数学・算数
- 偏微分方程式の問題を教えてください。
{U(0,y)=U(1,y)=U(x,0)=0, U(x,1)=a} という境界条件のもと 次のラプラスの方程式を解け。ただし0≦x≦1, 0≦y≦1とする。 (∂^2U/∂x^2)+(∂^2U/∂y^2)=0 この問題がどうしてもわかりません。解き方のわかる方教えて頂けないでしょうか。
- 締切済み
- 数学・算数