微積

質問

ｘｙ平面上の図形Eの面密度がρ（x、ｙ）であるとき、Eの重心のｘ座標、ｙ座標はそれぞれ次の式で表す。

ｘ（小さい）ｃ＝１/ｗ∫（小さい）E　　ｘρｄｓ

ｙ（小さい）ｃ＝１/ｗ∫（小さい）E　　ｙρｄｓ

W≡∫（小さい）E　ρｄｓ

ρ＝１であるとき、以下のそれぞれの図形の重心（ｘ（小さい）ｃ、ｙ（小さい）ｃ）を求めよ。

（１）原点中心、半径Rの円の第一象限にある部分

（２）点（０、０）、（a、0）、（0、b）、（a、b）　　　（a、b＞０）を頂点とする長方形。

お願いします。教えてください。

回答No.5

info22 · ベストアンサー

#1,#3,#4です。

問題で与えられている式を使えば
ヤコビアンを使わなくても（ヤコビアンを本来は使うのだけれども
うまく避けている）積分形式で与えられているので難しい２重積分を
考えないで済むことが分かりました。

(1)
ds=√(R^2-x^2)] dx（棒状の微小面積）, ρ=1　なので
W=∫[E]ρds
=∫[0,R] {√(R^2-x^2)}dx
と１変数の積分になります。
x=Rsin(t)と置換積分すると
dx=Rcos(t)dt,x=[0,R]→t=[0,π/2]
{√(R^2-x^2)}dx=(R^2){cos(t)}^2}dt={(R^2)/2}{1+cos(2t)}dt
なので
W={(R^2)/2}∫[0,π/2] {1+cos(2t)}dt
={(R^2)/2}[t+(1/2)sin(2t)}[0,π/2]
=(1/4)πR^2

同様に
xc=(1/W)∫[E] x ds
ds=√(R^2-x^2)] dx なので
xc=(1/W)∫[0,R] x*√(R^2-x^2)] dx
=(1/W) (-1/3 )[(R^2-x^2)^(3/2)] [0,R}
=(1/W)(1/3)*R^3=(4/3)R/π

yc=(1/W)∫[E] y ds
ds=√(R^2-y^2)] dy なので
=(1/W)∫[0,R] y*√(R^2-y^2)] dy
　 =(1/W) (-1/3 )[(R^2-y^2)^(3/2)] [0,R}
=(1/W)(1/3)*R^3=(4/3)R/π

と重積分を使わない(したがってB関数やΓ関数も使わない)で済んでしまいます（高校の微積の範囲）。

(2)も同様です。
W=∫[0,a] b dx=ab
xc=(1/W)∫[0,a] x b dx
　=(1/W) b [(x^2)/2] [0,a]=(1/W) b (a^2)/2=a/2
yc=(1/W)∫[0,b] y a dy}
　=(1/W) a [(y^2)/2] [0,b]=(1/W) a (b^2)/2=b/2

A#4での訂正
(1),(2)ともxc,ycの式が逆でしたので入替えて下さい。
(1)
誤：
xc=(1/W)∫[0,R] {∫[0,√(R^2-x^2)] ydy} dx
yc=(1/W)∫[0,R] x*{∫[0,√(R^2-x^2)] 1 dy} dx
正：
xc=(1/W)∫[0,R] x*{∫[0,√(R^2-x^2)] 1 dy} dx
yc=(1/W)∫[0,R] {∫[0,√(R^2-x^2)] y dy} dx
(2)
誤：
xc=(1/W)∫[0,a] {∫[0,b] y dy} dx
yc=(1/W)∫[0,a] x*{∫[0,b] 1 dy}dx
正：
xc=(1/W)∫[0,a] x*{∫[0,b] 1 dy} dx
yc=(1/W)∫[0,a] {∫[0,b] y dy}dx

回答No.4

info22

#1,#3です。

>学校の先生にはΒ関数やΓ関数を使いなさいと言われた
わざわざ特殊関数（超越関数）を持ち出して、ちょっとどうかしていますね。
ヤコビアンは習わないで、Β関数やΓ関数は習っているわけですか？

習っていなければ、ヤコビアンと同じ習っていない関数を使わせることになります。

習っているなら、その定義の積分形式および
その簡単化のための関係式もを補足にお書き下さい。
Β関数やΓ関数をあなたがちゃんと理解していなければ、あなたにとって
積分をΒ関数やΓ関数で表しても何にもなりません。

極座標に変数変換にしないのであれば、逐次積分を使って積分する方法しか残されていません。
重積分では逐次積分法が一番基本でどの教科書や授業でもやっているはずです。2次元の積分領域をまず他変数を定数として1変数で定積分し、積分した結果を残りの変数で定積分するだけ。

(1)逐次積分法での積分
W=∫[0,R]*{∫[0,√(R^2-x^2)] 1 dy}dx=(1/4)πR^2
xc=(1/W)∫[0,R] {∫[0,√(R^2-x^2)] ydy} dx
yc=(1/W)∫[0,R] x*{∫[0,√(R^2-x^2)] 1 dy} dx
後は積分して見てください。

(2)逐次積分法での積分
W=∫[0,a]*{∫[0,b] 1 dy}dx
={∫[0,a] 1 dx}*{∫[0,b] 1 dy}=ab
xc=(1/W)∫[0,a] {∫[0,b] ydy} dx
=(1/W){∫[0,a] 1 dx}*{∫[0,b] ydy}
yc=(1/W)∫[0,a] x*{∫[0,b] 1 dy}dx
=(1/W){∫[0,a] xdx}*{∫[0,b] 1 dy}
後は積分して見てください。

回答No.3

info22

#1です。
せっかく問題に、重心の定義が与えられていますので
それを使って計算すべきでしょう。

A#2の根拠の無い答えは困りますね。
(1)×
(2)○（長方形の中心座標なので誰でも予想できる）

ちなみに、A#1の積分を計算をすれば次のような正解の答えが出てきます。
(1) (x_c,y_c)=((4/3)R/π,(4/3)R/π)
(2) (x_c,y_c)=(a/2,b/2)

補足

ヤコビアンをまだ習っていません・・。
学校の先生にはΒ関数やΓ関数を使いなさいと言われたのですが、そうすると、どのようにできるのでしょうか？？

回答No.2

spring135

（１）原点中心、半径Rの円の第一象限にある部分
答え：45度の線上です。多分(（√π）/2 ,（√π）/2 ）

（２）点（０、０）、（a、0）、（0、b）、（a、b）　　　（a、b＞０）を頂点とする長方形。
答え：(a/2,b/2)

回答No.1

info22

(1)
x=r*cos(t),y=r*sin(t)と置換、dxdy=rdrdt
W={∫[0,R]rdr}*{∫[0,π/2] 1 dt}=(1/4)πR^2
xc=(1/W)∫[0,R] {∫[0,π/2] r*cos(t)dt} rdr
=(1/W){∫[0,R] (r^2)dr}*{∫[0,π/2] cos(t)dt}
この↑積分なら変数分離された積分なので簡単。自分でやって。

yc=(1/W)∫[0,R] {∫[0,π/2] r*sin(t)dt} rdr
=(1/W){∫[0,R] (r^2)dr}*{∫[0,π/2] sin(t)dt}
この↑積分なら変数分離された積分なので簡単。自分でやって。

(2)
W=∫[0,a]{∫[0,b] 1 dy} dx=ab
xc=(1/W)∫[0,a] x*{∫[0,b] 1 dy } dx
=(1/W){∫[0,a] xdx}*{∫[0,b] 1 dy}
この↑積分なら変数分離された積分なので簡単。自分でやって。

yc=(1/W)∫[0,a] {∫[0,b] y dy } dx
=(1/W){∫[0,a] dx}*{∫[0,b] y dy}
この↑積分なら変数分離された積分なので簡単。自分でやって。