• ベストアンサー

素数と累乗

m,nは正の整数とする。 3^m = 5^n が成りたたないのはなぜか? という問題で、解説には 「左辺は3の倍数であるが、右辺は3の倍数ではない」 とありました。 これは、どういうことなのでしょうか?

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
回答No.1

3^mは3×3×3×・・・であり、3の倍数ではありますが5の倍数ではありません。ですから5^nにはなりません。 逆に、5^nは5×5×5×・・・であり、5の倍数ではありませんが3の倍数ではありません。 したがって、左辺と右辺が等しくなることはあり得ないと言うことです。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

その他の回答 (1)

  • koko_u_u
  • ベストアンサー率18% (216/1139)
回答No.2

>これは、どういうことなのでしょうか? 素因数分解の方法は一通りだ、ということです。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

関連するQ&A

  • 7m+13n=910 910は7の倍数かつ13の倍数…?

    ある問題の解説でこうありました。 =========== 7m+13n=910 ここで910は7の倍数かつ13の倍数なので… =========== なぜ7m+13n=910という式を見ただけで、910が7の倍数且つ13の倍数だとわかるんですか? 左辺の係数が7と13なので、察しはつくんですが納得がいかない状態です。

  • 背理法を用いた、整数問題の証明

    a,b,cは整数とし、a^2+b^2=c^2とする。a,bのうち、少なくとも1つは3の倍数であることを証明せよ。  という問題について質問します。 a,bはともに3の倍数でないと仮定する。 このとき、a=3n+1,b=3m+1(n,mは整数)とおく。 a^2=3(3n^2+2n)+1 b^2=3(3m^2+2m)+1 ただし、3n^2+2n,3m^2+2mは整数。 よってa^2,b^2を3で割った余りはともに1である。 ※ a^2+b^2=3(3n^2+2n)+1+3(3m^2+2m)+1 =3(3n^2+2n+3m^2+2m)+2 3n^2+2n+3m^2+2mは整数である。 したがって、a^2+b^2を3で割った余りは2である。 一方、cが3の倍数のとき、c^2は3で割り切れ、 cが3の倍数でないとき、c^2を3で割った余りは1である。 すなわちc^2を3で割った余りは0か1である。 ※ よって、a^2+b^2=c^2において、 左辺は3で割ったときの余りが2、右辺は3で割ったときの余りが0か1 であるから矛盾する。 ゆえに、背理法よりa^2+b^2=c^2ならば、a,bのうち、少なくとも1つは3の倍数である。 このように解答したのですが、※と※の間の部分に対して数学の先生から、不十分というコメントを書かれてしまいました。 どこが不十分なのか分かる方がいらっしゃいましたら、教えていただけないでしょうか。 よろしくお願いします!

  • 20^x=10^(y+1)

    20^x=10^(y+1)を満たす有理数x,yを求めよ さてこの解き方ですが 20と10を素因数分解で 2^(2x)・5^x=2^(y+1)・5^(y+1)・・・(1)と表し したがって2^{2x-(y+1)}=5^(y+1+x) y+1ーx≠0と仮定すると 2^{(2x-y-1)/(y+1-x)}=5 2^r=5を満たす有理数rが存在すると仮定し 2^r=5>1であるからr>0でありr=m/n(m,nは正の整数) その後2^m=5^n そして2^r=5を満たす有理数rは存在しないと証明 それにより出た関係式からx,yを出すんですが 質問一つ目ですが x,yは題意より有理数だと思うんですが 有理数/有理数が無理数になることがあるんですか? そもそも有理数の定義ですが、テキストにはm/n(m,nは整数、n≠0)と書いてあるんですが、正確に調べてみるとどうやら違うようなあっているような、まだまだ曖昧な理解です 有理数とはなんなのか、無理数との違いなど教えてほしいです; 次に 2^r=5>1であるからr>0であり この部分ですが、わざわざr>0なんて書く必要あるんでしょうか? 3つ目に わざわざなんでrとおくんでしょうか? (1)の時にもう左辺は2の倍数、右辺は2の倍数ではないから(1)を満たす有理数rは存在しない とすればいいんではないでしょうか 最後ですが 3つ目の質問で左辺は2の倍数、右辺は2の倍数ではないから と今回は倍数ではないとかなりわかりやすくあるんですが 例えばこれが3^m=5^nとかであったら 何乗も無限大にあるわけですから、どこかでかぶるんじゃないかな?と不安になってしまいます 皆さんはどのように覚えているのでしょうか? よろしくお願いします

  • 最大公約数と最小公倍数の関係

    ある二つの正の整数の最大公約数と最小公倍数をかけたものは、元の二つの数字をかけたものと等しいっていうことは言えますか? つまり、最大公約数をgcd、最小公倍数をlcmとあらわすことにして、 正の整数mとnについて、    gcd(m , n)・lcm(m , n)=m・n は成り立つかどうかを教えてください。 できればその理由(証明)も添えてください。 協力お願いします!!

  • 素因数分解と分数

    以下の問題を解いていて、解答に納得がいかないので教えてください。 問)a_1,...,a_n(n>1)を0でない整数とする。ある整数pと正の整数hとが存在して、 a_1,...,a_nのうちの一つのa_iだけがp^hで割り切れ、他のa_jはどれもp^hでは割り切れないとする。そのとき、 S=1/a_1+1/a_2+...+1/a_n (*) は整数でないことを証明せよ 解)「a_iを割り切る最大のべきをp^k」とし、mをa_1,a_2,...,a_i/p^k,...,a_nの最小公倍数とする。(*)の両辺をm倍すると、右辺のm/a_i以外の項は整数だが、mはp^hで割り切れないのでm/a_iは整数でない。 ここで不思議に思ったのは、「」の部分でなぜ最大のべきを置いたかです。 m'として、a_1,a_2,...,a_i/p^h,...,a_nの最小公倍数としても問題ないと思います。 a_iにp^hで割っていること、p^hの素因数をa_i以外がもたないこと、この二つから、 m'のpの指数はa_iのpの指数(p^k)を超えることはないのではないかと思います。 これで、m'/a_iが整数でないことが示せると思います。 大変長く、わかりにくくなってすみません 何か自分が勘違いしているのか、他に見逃しているところがあるのか教えてください。

  • 中学数学 数の計算

    中学範囲の数学で、解説を読んでも分からない問題があります。冬休み中なので先生に聞くこともできず、質問をさせていただきました。お答えして頂けると幸いです。 問:nを整数とする。このとき、1×2×3×・・・×29×30が3のn乗で割り切れるような最も大きいnの値を求めなさい。 (解説)   1~30の中に3の倍数は10個あり、3の二乗=9の倍数は3個、3の3乗=27の倍数は1個あるから、最も大きいのは10+3+1=14 よってn=14  この解説なのですが、最初の3の倍数である10個の数字の中に、9の倍数も27の倍数も入っていると思うので、足す必要もないと思いますし、なぜ足した数が最も大きい数になるのかも分かりません。要領が悪くて申し訳ないのですが、順序立てて説明して頂けると助かります。

  • 数I数と式の問題

    【問題】nが5の倍数でない自然数の時、「n^4を5で割ると1余る」ことを証明せよ これを解くときに、いろんなやり方があると思うんですがまず 「nは5の倍数でないので、n=5k±1、n=5k±2(kは整数)」と置くとしますね? このとき、問題にはnは”自然数”ってあるんだから、kは「整数」ってだけだとnが負になることも出てこないでしょうか… 問題集の解答には整数、と書いてあるのですが、私は「kは自然数」か「kは正の整数」とかってしなくていいのかなぁ…と思ってしまうのですが、「kは整数」だけでいいならその理由をどなたか教えてください(> <) 些細なことなんですが、解答するとき、この部分だけがどうしても気になって…

  • 赤チャートの集合の問題です。解説お願いします。

    正の整数nに対して、集合{1,2,...,n}の部分集合Mで条件m∈Mならば2m∉M を満たすものを考える。このような集合Mに対してMの要素の個数の取り得る 最大値をf(n)と表すとすると、nが4の倍数であるとき、 f(n)≧n/2 +f(n/4)が成り立つことを示せ。 という問題がまったくわかりません。解説お願いします。

  • 数列の問題がわかりません。

    数列の問題がわかりません。 m,nは正の整数でm<nとする。このとき、m以上n以下の分数で、5を分母とし、5の倍数でない整数を分子とするもの全体の和を求めよ。 わかりません。 お願いします!

  • 数列の問題です

    数列の問題です。m、nは正の整数で、m<nとする。このときm以上n以下の分数で5を分母とし、5の倍数でない整数を分子とするもの全体の和を求めよ。 どなたか教えて下さい。宜しくお願い致します。