英語での数列の問題です

質問

Suppose you wanted to be able to give $1000 per year to the Q College Scholarship Fund. Assume that you can invent a large chunk of money at 8% annually to cover this gift.

a) How much n-th payment be worth after n years?
b) How much would you have to invent today in
order to cover the $1000 payment in n years?
c) Construct an infinite series that gives the
amount you must invest today to cover all
payments, forever.
d) Show that the series in part(c) cover and find
the sum. What does this sum represent?

回答No.1

Umada · ベストアンサー

「あなたはQ大学の奨学生基金に毎年1000ドルを寄付したいと考えています。この寄付金を捻出するために、相当な額の資金を年8%で投資できるとします。」

a) n番目の支払額はn年後にはいくらになっているでしょう。
b) n年間、毎年1000ドルを寄付するためには、現時点でいくら投資すればよいでしょう。
c) 未来永劫支払を続けられるようにするために、現時点で投資すべき金額を与える無限級数を組み立てなさい。
d) (c)の級数によって寄付金額を賄えることを示し合計を求めなさい。その合計は何を意味するでしょうか。

*文中に"invent"が何回か現れますが、"invest"だと思われます。
*寄付を年度のどこで行うかにより答えは少し変わってきますが、年度の終了時に行うと仮定します。

a) "n-th payment"が分かりにくいのですが、問題のつながりを考えると最初の投資額で「これは1年後に1000ドルになる分、これは2年後に1000ドルになる分、これは3年後・・・」と区分して考えなさい、ということかと思われます。
下の図をご覧下さい。□が初期投資分、↑が付く利息です。1と書かれた分は利息がついて1年後に1000ドルになります(その時点で寄付しますからなくなります)。2は2年後に1000ドルになり、3は3年後に・・・と考えることができます。

＿＿＿＿＿＿＿＿1000ドル
↑　↑　↑
□　↑　↑
□　↑　↑
□　□　↑
□　□　□
□　□　□
□　□　□
１　２　３・・・

「(区分された)n番目の投資額は、n年後には(1.08)^n倍になる」という答えでよいと思います。

b)
1年後に1000ドルを生み出すのに必要な初期投資　1000×1.08^(-1)
2年後に1000ドルを生み出すのに必要な初期投資　1000×1.08^(-2)
・・・
n年後に1000ドルを生み出すのに必要な初期投資　1000×1.08^(-n)

これを全て足し合わせると
　　　　{1.08^(-1)-(1.08)^(-(n+1))}
1000×-----------------------
　　　　　　{1-(1.08)^(-1)}
=12500×{1-(1.08)^(-n)}
だけの金額が必要です。単位はもちろんドルです。

c) b)で作った級数をn→∞の無限級数にするだけです。必要な初期投資額は
1000×1.08^(-1) +1000×1.08^(-2) +1000×1.08^(-3) +..... +1000×1.08^(-n)....
　∞
= Σ[1000×1.08(-k)]
　k=1
です。

d) (c)の和はすぐに求められます。(b)の結果を使ってn→∞とすればよく、答えは12500ドルです。
この金額の持つ意味は「利率8%の投資で、毎年1000ドルの利息を生み出すのに必要な元本」であり、ごく当然の結果です。

【別解】
問題で指定されている解き方ではありませんが、以下のように解くこともできます。

n年経過(寄付完了)時の残高をx[n]とすると
x[n+1]=1.08 x[n]-1000
なる漸化式を得ます。これはすぐに
x[n+1]-12500=1.08 (x[n]-12500)=1.08^2 (x[n-1]-12500)=...=1.08^(n+1)×(x[0]-12500)
と解くことができます。よって
x[n]=1.08^n×(x[0]-12500)+12500　　　(1)
です。X[0]は言うまでもなく、初期投資金額です。

n年間の寄付金を賄うには、n年後の寄付終了時に残高がゼロ以上であればよいのですから
x[n]≧0
が条件です。
(1)式を使って具体的に書き下して
1.08^n×(x[0]-12500)≧-12500
(x[0]-12500)≧-12500×1.08^(-n)
x[0]≧-12500×1.08^(-n)+12500
すなわち12500(1-1.08^(-n))ドル(以上)です。

また未来永劫寄付金を賄うには、どんなに大きな正整数nに対しても残高x[n]が非負であればよいわけです。
x[n]=1.08^n×(x[0]-12500)+12500
ですから、
x[0]≧12500
であることが必要かつ十分です。12500ドル以上あれば利息だけで寄付金を賄える、ということです。

お礼

丁寧な解説をありがとうございます！
文中の"invent"は"invest"の間違いでした。

しかしですね、一番初めのところで
つまづいてしまいました。まず意味が
分からないのが　Assume that you can invent a large chunk of money at 8% annually to cover
this gift. のところで、相当な額の資金を年8%で
投資できる、というのがどうもよく理解できません。
8％って何ですか？何の8％ですか？

またよろしくおねがいします。

回答No.2

noname#16084

「年８％で投資」というのは，１年間で元本（預けた金額）の８％だけ，利息が付くということですね．
例えば５００００ドルを年利８％で１年間預けると，
１年後には４０００ドルの利息が付いて５４０００ドルになります．
この５４０００ドルを（１０００ドルの寄付をしないで）さらにもう１年のあいだ年利８％で預けると，
当然ですが５８３２０ドルに増えます．