数Ａ 組み分け

質問

問
ｎ人を３つの部屋に分けるとき、どの部屋にも少なくとも１人は入るわけ方は何通りあるか。ただし部屋には区別がないものとする。

という問題を解いていたのですが
（空き部屋があってよい場合）－（空き部屋が１つの場合）－（空き部　屋が２つの場合）　として式を立てていたら、（空き部屋が２つの場合）を出すときに変なことに気がつきました。式で考えると、　　　　　　０人・０人・ｎ人　の部屋に分けるわけですから
　　　　　nＣ0×nＣ0×nＣn×1/2!
　　　　＝1/2　通り　　となってしまいます
こんなことはありえるのでしょうか？？？？？

ちなみに解答では
{3^n-3(2^n-2)-3}/3! が答えになっています。分配法則を使ってるみたいですが（空き部屋が２つの場合）は　3/3!＝1/2　になってることがわかります。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

＞式で考えると、０人・０人・ｎ人　の部屋に分けるわけですから
＞nＣ0×nＣ0×nＣn×1/2!＝1/2　通り　となってしまいます

どうして2!で割るのでしょうか？

＞{3^n-3(2^n-2)-3}/3! が答えになっています。分配法則を使ってるみたいですが（空き部屋が２つの場合）は　3/3!＝1/2　になってることがわかります。

違います。（空き部屋があってよい場合）を考えると、
（空き部屋があってよい場合の順列の数）＝3^n
は合ってますが、
（空き部屋があってよい場合の組み合わせの数）＝3^n/3!
ではありません。
正確には、
（空き部屋があってよい場合の組み合わせの数）＝(3^n-3)/3!+3/3

3!で割るためには、順番を考慮しない場合に同じ組み合わせがすべて６個づつ存在する必要があります。
ところが、全員が１つの部屋になる場合（空き部屋が２つの場合）は、３通りしかないので、６で割ることはできません。

{3^n-3(2^n-2)-3}　を　3!　で割っているのは、（空き部屋が２つの場合）を除いているからできるのであって、（空き部屋が２つの場合）を含んでいる場合は６で割ることはできません。

答の、{3^n-3(2^n-2)-3}/3!　を
（空き部屋があってよい場合）、（空き部屋が１つの場合）、（空き部　屋が２つの場合）に分けて書くと、
{(3^n-3)/3!+3/3} - {3(2^n-2)/3!} - {3/3}
となります。

お礼

くどくどしい質問なのに答えて下さって本当にありがとうございました！
凄くわかりやすくて感激です。