マセマ元気の頻出問題にトライ17について質問させて下さい。

質問

図のような正方形から成る格子状の道がある(横に４本、縦に６本の道があり、正方形の左下にP、右上にQという図です)
AはPからQへ、BはQからPへ共に最短距離を等しい速さで進む。
各分岐点での進む方向を等確立で選ぶとき、AとBの出会う確率を求めよ。

という問題です。

解答は
AとBはそれぞれP,Qから等しい速さで最短経路を進むので、出会う点は
をR、S、T、Uのいずれかの分岐点である。

AがR、S、T、Uを通る確率をそれぞれPr、Ps、Pt、Pu..........X
BがR、S、T、Uを通る確率をそれぞれQr、Qs、Qt、Qu
とおくと

Pr=16/1 Ps=1/4 Pt=3/8 となる。
AはRSTUのいずれか１点を必ず通り、かつ２点以上を通ることはないから
Pu=1-(1/16+1/4+3/8)=5/16・・・・・・・・・Y

同様に
Qr=Pu=5/16 Qs=Pt=3/8 Qt=Ps=1/4 Qu=Pr=1/16

以上より、A,Bが出会う確率は
Pr×Qr＋Ps×Qs＋Pt×Qt＋Pu×Qu=58/256=29/128

というものでした。

自分は点線のXからYの所がイマイチ理解できません。

自分は
Pu=4/16 Pt=6/16 Ps=4/16として
Pr=1-(4/16+6/16+4/16)=2/16としました。
そして同様に

Pu=Qr=4/16 Pt=Qs=6/16 Ps=Qt=4/16 Pr=Qu=2/16としました。
しかしこれでA,Bが出会う確率を求めると
Pr×Qr＋Ps×Qs＋Pt×Qt＋Pu×Qu=64/256=1/4となり答えが合いません。

いったい自分はどこで間違えてるのでしょうか？

長文でわかりづらいかもしれませんが、よろしくお願いします。

回答No.1

yasei

Puを求める際、分子は4に見えますが、実はその4つの事象は「同様に確からしい」わけではありません。
仮にコインを投げて表が出れば右、裏が出れば上へ動くとします。
そのとき、Pu=4C1/16=1/4
のような気がします。

ここからが重要です。

しかし、コインが全て裏の場合、行き先がないので右へ動くことになります。
よって実はPu=(4C1+1)/16=5/16となります。

お礼

簡潔に説明して頂きありがとうございます。

どうしても理解できなくて困っていたので助かりましたm(__)m