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数列について
F0ur1erの回答
1/nについては#1にあるので、1/(n^2)について 参考程度に述べさせていただきます。 まずΣ{n=1 ~ ∞} 1/(n^2)は収束します。 証明には次の命題を使います。 ---定理(比較判定法)の系--------------- a_n > 0 , b_n > 0 , (a_{n+1} / a_n) ≦ (b_{n+1} / b_n ) (n=1,2,3,…) とする。このとき (ⅰ) Σ{n=1 ~ ∞} b_n が収束する ⇒Σ{n=1 ~ ∞} a_n が収束する (ⅱ) Σ{n=1 ~ ∞} a_n が発散する ⇒Σ{n=1 ~ ∞} b_n が発散する ---------------------------------------- これを用いると まず、a_n = 1/(n^2) , b_n = 1/{n(n+1)} , n=1,2,… とすると、 b_{n+1} / b_n - a_{n+1} / a_n = n/(n+2) - (n^2)/(n+1)^2 = n/{(n+2)(n+1)^2} > 0 (n=1,2,3,…) 従って、Σ{n=1 ~ ∞} 1/{n(n+1)} = 1 であるから、Σ{n=1 ~ ∞} 1/(n^2) は収束する. という感じです。そして Σ{n=1 ~ ∞} 1/(n^2) = (π^2)/6 を求めるのは難しいです. ζ(2) = Σ{n=1 ~ ∞} 1/(n^2) とおいて計算するようです。これはゼータ関数と 呼ばれています。 長々と書きましたが、かえって混乱させてしまったらごめんなさい。
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