正答の導き方（数学A）

質問

こちらの問題を上手く解くことが出来ません。
ちなみに、この問題は青チャートのp262の例題(3)の問題です。

【問題】
正n角形A1A2……Anの頂点を結んで出来る三角形のうち，
正n角形と辺を共有しない三角形の個数を求めよ．
ただし，n≧5とする．

私は以下の様にして式を立てました。

****************************************************************
この問題は“～を共有しない”個数を求める。
だから、まず始めに“～を共有する”個数を考え、
最終的にそれをすべての三角形の総数から引けば良い。
よって、
正n角形の頂点を結んで出来る三角形の個数………nC3個（全体）
正n角形と2辺を共有する三角形の個数………n個
正n角形と1辺のみ共有する三角形の個数………n(n－4)個
と表すことが出来る。
以上の事から、≪nC3－n(n－4)－n≫という式が成り立つ。
****************************************************************

ここまではチャートに記載されている解法と同様な考えで進めてこられましたが、
いざこの式を解き始めてみると、途中から解らなくなってしまいました(>_<；

私が解けたのは、
n(n－1)(n－2)/3・2・1－n(n－4)－n
＝1/6n(n－1)(n－2)－n(n－4)－n
までです。
ここから先はどの様にして解いていけば良いのでしょうか？
記載されている解き方も参考にはしましたが、まったく解りません；；

宜しくお願いします!!

回答No.2

ItachiMasamune · ベストアンサー

まず、－n(n－4)－nの変形にていてですが、－n(n－4)を展開する必要はありません。
それぞれの項に注目すると、nが共通しているので、nを外に出します。
けど全体にマイナスが付いているのでここでは-nを出します。
－n(n－4)－n=-n{(n-4)+1}=-n(n-3)

本題に入ります。式変形だけに触れたいと思います。
回答は、因数分解された形でも、展開された形でもよいと思います。
1/6n(n－1)(n－2)－n(n－4)－nを全部展開して整理すればよいです。
因数分解したいなら、分数が邪魔なのでまず、1/6を外に出します。
1/6n(n－1)(n－2)－n(n－4)－n=1/6{n(n－1)(n－2)－6n(n－4)－6n}
3つの項にはnが共通しているので、nを出す。
=1/6n{(n－1)(n－2)－6(n－4)－6}
ここで、3つの項に共通しているものがないので、｛｝の中を展開します。
=1/6n(n^2 - 9n +20)
もし()の中が因数分解できなければ、ここで因数分解終了ですが、この場合はさらに因数分解可能ですので、因数分解してください。

お礼

こちらを参考にさせていただき、再度解いてみたところ、
答えは1/6n(n－4)(n－5)となり、正答と同じ解答になりました。

そのまま展開するより、
因数分解を利用する解き方の方が早く解けたので、
以後はこの様な解き方で進めたいと思います(^O^)/

ご回答、ありがとうございます!!

回答No.1

makiossk

－n(n－4)－n
を
－n(n－3)
にして
n
をくくり出す。

お礼

再度また解いてみたところ、正答と同じ解答になりました！
ご回答、ありがとうございます。

補足

－n(n－4)－n
＝－n^＋4n－n
＝(－n^＋3n)
＝－n(n－3)

nのくくり出し方は上記の解き方で良いのですよね？
ということは…、
すべての式は1/6n(n－1)(n－2)－n(n－3)となる…。
…けれど、ここから先、さまざまな方法で解いてみましたが
一向に正答に辿り着けません；；

※さまざまな方法とは、()を取り外してみたり、先頭の分母である6を無くす為、全体に6をかけてみたetc...です。