数学の確率の問題です。

質問

数学の確率の問題です。
下の問題(2)の問題なのですが、解答は

いっぺんの長さがi(i=1,2,3,.....n)の正方形の総数は(n+1-i)個............

と書いてあるのですが、どうして正方形の個数が(n+1-i)になるのでしょうか？

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

いいえ
1辺の長さがi(i=1,2,3,…,n)である正方形の総数は(n+1-i)個ではなく
(n+1-i)^2
個です

nを1以上の整数とする。
k=1,2,…,n,n+1に対して,xy平面上で,点(0,k)を通り
x軸に平行な直線をLkとし,
点(k,0)を通り,y軸に平行な直線をmkとする。
(1)
直線L1,L2.…,Ln,L(n+1)から相異なる2本を選び
直線m1,m2.…,mn,m(n+1)から相異なる2本を選ぶと
長方形が1つできる。
こうしてできる長方形の総数は
{(n+1)C2}^2=n^2(n+1)^2/4

(2)
1辺の長さがi(i=1,2,3,…,n)である正方形の
左下頂点の座標を(x,y)とすると
右上頂点の座標は(x+i,y+i)となる
x座標の下限は(直線mkのx座標下限)1だから
1≦x
y座標の下限は(直線Lkのy座標下限)1だから
1≦y
x座標の上限は(直線mkのx座標上限)n+1だから
x+i≦n+1
y座標の上限は(直線Lkのy座標上限)n+1だから
y+i≦n+1
だから
1≦x≦n+1-i
1≦y≦n+1-i
だから
正方形は縦(n+1-i)×横(n+1-i)
[{左下(x,y)-右上(x+i,y+i)}_{x=1～n+1-i}]_{y=1～n+1-i}
の{(n+1-i)^2}個ある

1辺の長さがi(i=1,2,3,…,n)である正方形の総数は(n+1-i)^2個だから
正方形の総数は
Σ_{i=1～n}(n+1-i)^2
=Σ_{i=1～n}{(n+1)^2-2i(n+1)+i^2}
=n(n+1)^2-2(n+1)Σ_{i=1～n}i+Σ_{i=1～n}i^2
=n(n+1)^2-(n+1)n(n+1)+Σ_{i=1～n}i^2
=Σ_{i=1～n}i^2
=n(n+1)(2n+1)/6
(1)で考えた長方形のうちから1つとる時、
それが正方形である確率は
n(n+1)(2n+1)/6/{n^2(n+1)^2/4}
=2(2n+1)/{3n(n+1)}

例)
n=3の時
1辺の長さがi=1である正方形は
左下(1,1)-右上(2,2)
左下(2,1)-右上(3,2)
左下(n+1-i=3,1)-右上(n+1=4,2)
左下(1,2)-右上(2,3)
左下(2,2)-右上(3,3)
左下(n+1-i=3,2)-右上(n+1=4,3)
左下(1,n+1-i=3)-右上(2,n+1=4)
左下(2,n+1-i=3)-右上(3,n+1=4)
左下(n+1-i=3,n+1-i=3)-右上(n+1=4,n+1=4)
の
(n+1-i)^2=(3+1-1)^2=3^2=9個

1辺の長さがi=2である正方形は
左下(1,1)-右上(3,3)
左下(n+1-i=2,1)-右上(n+1=4,3)
左下(1,n+1-i=2)-右上(3,n+1=4)
左下(n+1-i=2,n+1-i=2)-右上(n+1=4,n+1=4)
の
(n+1-i)^2=(3+1-2)^2=2^2=4個