「テレホンQ」どこまで？

質問

関西のTV番組（おはよう朝日）のクイズで「テレホンQというのがあります。
　９枚のパネルの裏に「ドクロ」１枚、「ラッキー」１枚、「１万円」１枚、「５千円」２枚、「千円」４枚、が隠れています。
　「ドクロ」を引けばアウト。それ以外だと次のパネルに進めます。めくった金額合計が賞金。「ラッキー」を引けば、金額が２倍。「ドクロ」だと、それまでの金額がすべてパー。「ドクロ」を除く８枚をすべて引けたら、賞金は１０万円。

　さて、当選した人は、どこまで獲得したらやめるべきか？
　私は、「ラッキー」と「ドクロ」の確率は同じだから、少なくとも「ラッキー」がでるまでは続ける。ただし、「１万円」と「ラッキー」がでたらやめる。２万持っていて、のこりの枚数で１０万をねらうのにはリスクが大きいから。（７枚のこして２万の場合、最後までドクロを引かない確率７分の１にたいして、１０万円は５倍にしかならない。）

　しかし、以前、この研究をしている先生、というのがいて、「３枚までは無条件で引ける」というのです。「３枚まで引く」根拠があるのでしょうか？

　ちなみに番組HP
http://www.asahi.co.jp/ohaasa2/asatop.html

回答No.1

stomachman

アホみたいな問題とミノ○ンタのプレッシャーに耐えれば１０００万という番組より、全部当てても10万円というセコさが好きです。
（以下、L=ラッキー、m=１万円、g=5千円、s=千円　という記号で表します。）

期待値として考えた場合、
既に６枚以下のパネルを開いている場合「これまでに獲得した金額が24000円以上ならやめ、それ未満なら次のパネルにトライ」、７枚目まで開いた場合は「無条件で８枚目にトライ」というのが正解です。

　すでに開いたパネルが２枚以下のとき、次のパネルを開くことで増額する金額の期待値は必ずプラスです。だから３枚までは無条件と言って良いわけですね。
　すでに開いたパネルが３枚のとき、１通り(Lmg）を除いては、獲得24000円未満なので４枚目にトライ。

　しかしもちろん、リスクとメリットのかねあいというのは個人の価値観にも依存する。ドクロを引いてしまう確率は、残り枚数が少なくなるにつれて上昇します。とりあえず今日の飯に困っているっていうのなら、1000円でも獲得した時点で降りるのが正解ですよ。そこでちょっと表を作って調べてみちゃいました。

３枚持っているとき、４枚目にトライして失敗する確率は1/6。どれだけ増やせるかの期待値を低い順から見ると、
Lmg(30000円)-> -2000円（これが唯一、４枚目に行くべきでない場合です。）
Lms(22000円) -> 666円
mgg(20000円) -> 666円
Lgg (20000円) -> 1333円
mgs(16000円)-> 1333円
mss(12000円) -> 2000円
Lgs(12000円) -> 4000円
:
となります。獲得金額によっては３枚目でやめとく、という判断もアリでしょうね。

４枚持っているとき、５枚目にトライして失敗する確率は1/5。どれだけ増やせるかの期待値を高い順に見ると、
Lsss (6000円) -> 7200円
Lgss (14000円) -> 4000円
ssss (4000円) -> 4000円
gsss (8000円) -> 3200円
ggss (12000円)->2400円
msss(13000円)->2200円
:
どこでやめとくか、かんがえどころですねえ。

５枚持っているとき、６枚目にトライして失敗する確率は1/4。どれだけ増やせるかの期待値を高い順に見ると、
Lssss (8000円) -> 8000円
Lgsss (16000円) ->4000円
gssss (9000円) -> 3750円
ggsss (13000円) -> 2750円
:
６枚持っているとき、７枚目にトライして失敗する確率は1/3。どれだけ増やせるかの期待値は
Lgssss (18000円)->4000円
ggssss (14000円)->3333円
mgssss(19000円)->1666円
mggsss(23000円)-> 333円

７枚持っているとき、８枚目にトライして失敗する確率は1/2。この場合は例外ですから、どれだけ増やせるかの期待値はつねにプラスです。最も分が悪いのは
Lmggsss(48000円)->4000円
最も分が良いのは
mggssss(24000円)->26000円
というわけ。この博打は普通の半々の賭より遙かに良いから、大概のヒトは乗っても良いと考えるでしょう。（それに、関西人だったらここで降りちゃ大ヒンシュクです。）

８枚持っているとき最後の１枚を引くのは、売れないお笑い芸人だけです。

　さて、stomachmanのような貧乏人の価値観はおかしなもので、100円のものを50円引きで買えるととっても嬉しいのに、10000円のものを50円引きで買っても嬉しくない。つまり、現在持っているお金にくらべてどの位の比率かというの気になる。そういう意味で、たとえば「次のパネルを引いた時の期待値が、現在持っている分と同じかそれ以上（つまり倍以上）になる場合は？」と調べてみますと、「すでに獲得したパネルが、ラッキーパネル(0～1枚)と千円のパネル(1～4枚)だけ」という答になります。

補足

さっそく回答ありがとうございます。
おまけ。
この番組では、「合い言葉」をいえなかった場合、つまり番組を見ていなかった場合、「ラッキー」がなし（かわりに千円が増える）、8枚めくったら5万円、というルールもあります。もし、おひまでしたら、この場合も挑戦してみてください。
朝は忙しいので、TVをつけていても「合い言葉」を聞いていない人が多いようです。

更に、「一発どくろ」賞として、最初に「ドクロ」を当ててしまったら、スポンサーから「お食事券」などがプレゼントされます。この場合は考えようがないのですが（1枚目を引く前にやめることは考えられないもの）、悩まずにすむぶん、ラッキーと思うでしょうね。

ラッキーを7枚目に引いた場合は、挑戦するしかないですね。
しかし、2枚で2万円獲得した場合でも、7分の１をねらって挑戦すべきなのでしょうか。

1万円とラッキーで2万円。のこったパネルは7枚。