ガウスの法則においてシグマとリミットの記号の順番

質問

ガウスの法則についての問題にlimΔs→0ΣEΔS（Σはsから∞）という式が出てきたのですが、ΣEΔSは面積Sの分の電場Eを足し合わせるということですよね。それだけでもう電場の値はもとまっていると思うので、limをかける必要があるのかわかりません。limをかけることで、何が起こるのか教えてください！
またΣとlimの順序を逆にして計算してはいけないのでしょうか？？意味合いが最初の式と違ってくるのでしょうか？？わかる方いましたら教えてください（＞＜）

回答No.2

yokkun831 · ベストアンサー

ΣＥΔＳは，ΔＳが大きいと電場Ｅはその領域での代表値（真ん中のＥとか）をとることになりますから，
実際の合計との誤差が大きいですよね？つまり，ΣＥΔＳはΔＳのとり方で変わることになります。
それをΔＳ→０の極限をとって，正しい値を導こうという手続きです。
で，なぜlimが前かというと，ΔＳのとり方で和も変わるのですから和を先にとるべきなのです。

lim[ΔSi→0]ΣiEiΔSi

つまり，ΔSiを小さくしていくと個数iも増えるのですから，和の個数iが決まった時点でないとΔSiが
定義できませんよね？逆にするとiを固定して極限をとってしまうので，個数を増やさぬまま領域を縮めた
ことになり，全面積にわたる和になりません。これは純粋に数学記号の意味の問題です。

もちろん，lim[ΔSi→0]ΣiEiΔSi=∫[S]E・ds　ということです。

お礼

回答ありがとうございます！！回答を参考に自分で考えてみたらわかりました！区分求積法のやり方ですね！ありがとうございました！

回答No.1

Tacosan

「ΣEΔSは面積Sの分の電場Eを足し合わせるということですよね」といっていますが Δ はどこへいった?
lim をつけない式では「面積 ΔS の領域ごとに同じ電場である」と仮定して計算しています. しかし実際には電場は位置ごとに異なるはずなので, この ΔS を 0 まで小さくしてやる必要があります. この操作を lim が表しているわけです.
というか, これってとっても基本的なことだと思うんだけど....

補足

なるほど！電場は位置ごとに異なるのですね！問題ではlimよりΣが先に来ていますが、limで微小にする前に、ΣでΔＳを足し合わせてしまってもいいのでしょうか？