n次元単位球の体積と表面積

質問

n次元単位球の体積と表面積を求めたいのですが。
値と求め方をご存じの方はご教示ください。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

半径 r の n 次元球の体積を V_n(r) とします．
先に答を書くと
(1)　　V_n(r) = 2π^(n/2) r^n / nΓ(n/2) = π^(n/2) r^n / Γ((n/2)+1)
表面積 S_n(r) は
(2)　　S_n(r) = dV_n(r)/dr = 2n π^(n/2) r^(n-1) / Γ(n/2)
です．
ただし，Γ(z) はガンマ関数．

方法はいくつかありますが，有名なのは以下の方法です．
V_n(r) が r^n に比例するのは自明でしょうから
(3)　　V_n(r) = C(n) r^n
とします．
当然
(4)　　S_n(r) = dV_n(r)/dr = n C(n) r^(n-1)
です．
n 次元 Gauss 積分
(5)　　I(n) = ∫・・・∫ exp[- (x_1^2 + ・・・+ x_n^2) dx_1 ・・・dx_n
を２通りの方法で計算します．
積分範囲はどの x_j についても -∞から∞まで．

はじめは Gauss 積分を直接計算します．
(6)　　∫{-∞～∞} exp[- x^2] dx = π^(1/2)
ですから
(7)　　I(n) = π^(n/2)
です．

次に，I(n) を n 次元球殻に分けて計算します．
r ～ r+dr の間の n 次元球殻の体積は
(8)　　 S_n(r) dr = n C(n) r^(n-1) dr
ですから，
(9)　　I(n) = n C(n) ∫{0～∞} exp(-r^2) r^(n-1) dr
です．
y = r^2 とおき，ガンマ関数の定義(の一つ)
(10)　　Γ(z) = ∫{0～∞} exp(-x) x^(z-1) dx
に注意すれば
(11)　　I(n) = (1/2)n C(n) ∫{0～∞} exp(-y) y^((n/2)-1) dy
　　　　　　　= (n/2) C(n) Γ(n/2)

(7)(11)を比べて
(12)　　C(n) = 2π^(n/2) / nΓ(n/2) = π^(n/2) / Γ((n/2)+1)
が得られます．

n が大きくなれば単位「超球」の体積はどんどん大きくなりそうな気が
ちょっとしますが，実は５次元が最大でそれより大きい n では
n の増加と共にどんどん体積が小さくなります．

ミスタイプがあるかも知れませんので，チェックもよろしく．

回答No.1

mmky

参考程度に

単位球面の面積
Sn=2*(Γ(1/2))＾n/Γ(n/2)
=2π＾(n/2)/Γ(n/2)

体積は
Sn∫[0→1]r＾n-1*dr=Sn/n
={2π＾(n/2)/Γ(n/2)}/n

求め方の例：
シュワルツさんの方法（ベータ関数の一般化の過程から）:L.シュワルツ：物理数学の方法p-299-300参照
Γ(Pi)=2*∫[0→∞]e＾-ui＾2*u＾2Pi-1 *dui
Γ(P1)Γ(P2)・・Γ(Pn)
=2＾n∫・・∫e＾-(u1＾2+u2＾2・・+un＾2)u＾2P1-1・・u＾2Pn-1
*du1*du2・・・・dun
半径ｒの球面上で　ui=rξi と置けば、
=2＾n*e＾(-r＾2)*r＾2(P1+P2+・・Pn)-n *r＾n-1*
∫・∫ξ＾2P1-1・・ξ＾2Pn-1 dS
={2*∫[0→∞]e＾(-r＾2)*r＾2(P1+P2+・・Pn)-1 dr}
*2＾n-1{∫・∫ξ＾2P1-1・・ξ＾2Pn-1 dS}
=Γ(P1+P2・・+Pn)*2＾n-1*{∫・∫ξ＾2P1-1・・ξ＾2Pn-1 dS}
だから
2＾n-1{∫・∫ξ＾2P1-1・・ξ＾2Pn-1 dS}
=Γ(P1)Γ(P2)・・Γ(Pn)/Γ(P1+P2・・+Pn)
=B(P1,P2,・・,Pn）
Pi=1/2 の場合、
2＾n-1{∫・・・∫ dS｝=2＾n-1*{Sn/2＾n}=Sn/2
=B(1/2・・・1/2)=(Γ(1/2))＾n/Γ(n/2)
{Sn/2＾n}:球面象限の面積
以上　
ちょっとわかりづらいかな。
その他の参考書は、たとえば、詳解　物理応用数学演習：共立出版　P96-97 など。

参考程度に