LPFの計算違いについて

質問

電気回路でOPアンプを使用したアクティブLPFについてですが
計算して、エクセルでグラフにすると特性が異なってしまいます。
(ツールでシュミレーションしているため、私の計算が違うと判断しています。)
　　　　＿＿＿
－－－｜＋　　｜
　　　｜　 Vo｜＿＿＿＿
－Ｒ－｜－　　｜　　｜
　　｜｜＿＿＿｜　　｜
　　｜　　　　　　　｜
　　｜＿＿＿Ｒ２＿＿｜
　　｜＿＿＿Ｃ２＿＿｜
　　｜＿Ｃ１＿Ｒ１＿｜

上記モデルで、Ｒ１、Ｒ２、Ｃ１、Ｃ２の部分の
合成インピーダンス（Ｚ）を求め、Ｒで割りゲインを求めた。

私の計算結果(Ｚ／Ｒ)は、
＝(ω・C1・R1・R2+1)／[ω^2・C1・C2・R1・R2+ω(C1・R2+C2・R2+C1・R1)+1]・R
となり、グラフにするとBPFのような中途半端な特性となります。
※ω=2πf、“・”は掛け算です。

正しい特性は、大陸棚(ちょっと分かり難い表現だとすみません。)
のように、変曲点が２つあり段々と減衰していく特性になるはず
なのですが何が間違っているのか困っています。
計算ミスが無いように何回か確認してますが
基本的なミスだったら誠に申し訳ありません。

ご指摘orご指導のほど何卒よろしくお願いいたします。

回答No.3

inara1 · ベストアンサー

ANo.1さんのように、正しい電圧利得（複素利得）は
　　　G(ω) = -(R2/R)*( 1 + j*ω*C1*R1 )/[ 1 - ω^2*C1*C2*R1*R2 + j*ω*{ C1*( R1 + R2 ) + C2*R2 } ]
です。利得の大きさ |G(ω)| と位相 Φ(ω) は
　　　|G(ω)| = (R2/R)*√( A^2 + B^2 )/C
　　　Φ(ω) = π + arctan(B/A)
　　　　　　A = 1 + ω^2*C1^2*R1*( R1 + R2 )
　　　　　　B = -ω*R2*( C1 + C2 + ω^2*C1^2*C2*R1^2 )
　　　　　　C = ( 1- ω^2*C1*C2*R1*R2 )^2 + ω^2*{ C1*( R1 + R2 ) + C2*R2 }
となります。

Excelで計算した結果と回路シミュレータでの結果を添付します。回路シミュレータは実在のオペアンプ（LM358）を使ったので100kHz以上で差がありますが、低周波では一致しています。Excelの計算式は、複素関数を使ったものと、上式を使ったもの（実数計算）の２通りで比較しましたが完全に一致しています。Excelの計算式は以下のようになっています（これは23列の式だけを抜き出したものです）。

　　C列　=IMPRODUCT(COMPLEX(-_R2/_R,0),IMDIV(COMPLEX(1,2*PI()*B23*_C1*_R1),COMPLEX(1-(2*PI()*B23)^2*_C1*_C2*_R1*_R2,2*PI()*B23*(_C1*(_R1+_R2)+_C2*_R2))))
　　D列　=20*LOG10(IMABS(C23))
　　E列　=DEGREES(IMARGUMENT(C23))
　　F列　=1+(2*PI()*B23)^2*_C1^2*_R1*(_R1+_R2)
　　G列　=-2*PI()*B23*_C1*_R2*(1+_C2/_C1+(2*PI()*B23)^2*_C1*_C2*_R1^2)
　　H列　=(1-(2*PI()*B23)^2*_C1*_C2*_R1*_R2 )^2 + (2*PI()*B23)^2*(_C1*(_R1+_R2)+_C2*_R2 )^2
　　I列　 =20*LOG10(_R2/_R*SQRT(F23^2+G23^2)/H23)
　　J列　=180+DEGREES(ATAN(G23/F23))

B23は周波数のセルです。_R、_R1、_R2、_C1、_C2 は素子の値があるセル（C2～C6）の名前です。

お礼

ご回答ありがとうございます。
また、私の模範イメージを実際に確認して写真まで
つけていただき誠にありがとうございます。
(シュミレーションでも青字グラフのようになります。)

電圧利得のところで躓いていることが分かりました。
ですが、未だによくわかりません。
(理解が悪く申し訳ありません。)

ひょっとして、ー端子の入力から見て考えると・・
分かりました！！
V-＝(R-Z)・iとなるからですね。

理解できました。
ありがとうございます。(＃１の方もありがとうございます。)

補足

すみません。
ゲインの計算式は分かったのですが、
分子部分の計算が、まだ合わないです。
R2で括れません。
(単純な計算ミスだと思いますが、確認させて頂けますか？)

s=jωとします。
Z=(1/Zcr＋1/Zc＋1/Zr)^-1の式に下記を代入しました。
　＜Zcr=1/s・C1+R1＞
　＜Zc=1/s・C2＞
　＜Zr=R2＞
=[1/(1/s・C1+R1)+1/(1/s・C2)+1/R2]^-1
=(s・C1/(1+s・C1・R1)+s・C2+1/R2)^-1
={[s・C1・R2+(1+s・C1・R1)・s・C2・R2+1+s・C1・R1]/(1+s・C1・R1・R2)}^-1

上式となり、分母は(1+s・C1・R1・R2)なので、R2で括れないと思うのですが計算が間違えているのでしょうか？

このような簡単な質問でお手数をおかけして誠に申し訳ありませんが
どうしても合わないことに不思議で申し訳ありませんがご解答のほど
よろしくお願いいたします。

回答No.6

inara1

1/s・C1 は、（ ）を使って1/(s・C1) と書いたほうがいいです。

＞Z=(1/Zcr＋1/Zc＋1/Zr)^-1の式に下記を代入しました
合ってます。

＞=[1/(1/s・C1+R1)+1/(1/s・C2)+1/R2]^-1
合ってます。

＞=(s・C1/(1+s・C1・R1)+s・C2+1/R2)^-1 --- (1)
合ってます。

＞={[s・C1・R2+(1+s・C1・R1)・s・C2・R2+1+s・C1・R1]/(1+s・C1・R1・R2)}^-1
ここがおかしいです。なぜ分母が 1+s・C1・R1・R2 となるのでしょうか。式(1)で分数になっているのは s・C1/(1+s・C1・R1) だけなので、この分母 1+s・C1・R1 でまとめます。すると
　　　1/Z = { s・C1 + s・C2・(1+s・C1・R1) + (1+s・C1・R1)/R2 }/(1+s・C1・R1)
となるはずです（左辺を Z とすると、右辺をいちいち -1 乗しなければならないので、左辺を 1/Zとしました）。右辺の分子と分母にそれぞれ R2 をかければ
　　　1/Z = { s・C1・R2 + s・C2・R2・(1+s・C1・R1) + 1 + s・C1・R1 }/{ R2・(1+s・C1・R1) }
　　　　　= ( s・C1・R2 + s・C2・R2 + s^2・C1・C2・R1・R2 + 1 + s・C1・R1 )/{ R2・(1+s・C1・R1) }
　　　　　= [ 1 + s^2・C1・C2・R1・R2 + s・{ C1・(R1+R2)+ C2・R2 } ]/{ R2・(1+s・C1・R1) }
この式の s に j・ω を代入して、利得 G(ω) = -Z/R を計算すると、ANo.3 の G(ω) の式になるはずです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

初歩的なミスに気が付けました。
大変お手数をおかけしまして
誠に申し訳ありません。

本当にありがとうございます。

回答No.5

noname#101087

>分母のR2が()で括れないと思うのですが ......

R2→0 で Z→0 となるはず。
つまり、括れるはず。

結果式の前は、
　　 sC1　 　1+sR2C2
　--------- + -------
　(1+sR1C1)　　　R2
でした。

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞R2→0 で Z→0 となるはず。
＞つまり、括れるはず。

確かにそうです。(すごく納得しました。)
計算しても合わない・・・。
合成抵抗の計算で間違えているのか・・
少し情けなくなってしまいました。
誠に申し訳ありませんが、一緒に確認させていただいても
よろしいでしょうか？

s=jωとします。
Z=(1/Zcr＋1/Zc＋1/Zr)^-1の式に下記を代入しました。
　＜Zcr=1/s・C1+R1＞
　＜Zc=1/s・C2＞
　＜Zr=R2＞
=[1/(1/s・C1+R1)+1/(1/s・C2)+1/R2]^-1
=(s・C1/(1+s・C1・R1)+s・C2+1/R2)^-1
={[s・C1・R2+(1+s・C1・R1)・s・C2・R2+1+s・C1・R1]/(1+s・C1・R1・R2)}^-1
この展開で計算間違いまたは、計算式が違うところがありますでしょうか？
本当に申し訳ありませんが、よろしくお願いいたします。

回答No.4

noname#101087

>..... 私の計算結果と異なります。

1/Z を勘定してひっくり返してました。

　　　　　 sC1R2 + (1+sR1C1)(1+sR2C2)
　1/Z = --------------------------
　　　　　　　 R2(1+sR1C1)

お礼

ご回答ありがとうございます。

分母のR2が()で括れないと思うのですが
いかがでしょうか？

回答No.2

noname#101087

当方の計算結果は、
　Z = {(jω*C1*R1) + 1]*R2 / [-ω^2*C1*C2*R1*R2 + jω(C1*R2 + C2*R2 + C1*R1) + 1]
となり、「jωの有理式」です。

合ってるかな？？

お礼

ご回答ありがとうございます。

コンデンサを使用しているのでjパートの記載が必要ということですね。
申し訳ありません、勝手に省いてしまいました。

ややこしいのでｊω＝ｓとします。
私の計算結果と異なります。
私の計算結果は、
＝(s・C1・R1・R2+1)／[s^2・C1・C2・R1・R2+s(C1・R2+C2・R2+C1・R1)+1]
R2が直接入力端子に繋がっているため、分子はR2で括れないと
思いますがいかがでしょうか？

回答No.1

foobar

回路としては、オペアンプー入力がRを通して０Vにつながっている、非反転形の回路でしょうか？
もしそうなら、伝達関数は（Z+R)/Rになるように思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。

絵が見難くてすみません。
(入力時は分かるように書いたつもりなのですが、完了するとズレてしまいました。)

記載した回路は、反転増幅回路で＋端子はバイアスしています。
出力からー端子へフィードバックさせている帰還がＺで、
入力インピーダンス(入力抵抗という表現が正しい？)がＲです。

で考えるても、Ｇ＝（Ｚ＋Ｒ）／Ｒと考えるのが正しいのでしょうか？
すみません、何故そのような式になるのかが分かりません。
もし、よろしければご教示のほどよろしくお願いいたします。