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中3で習う三角形の面積比の証明をしてください!!
三角形ABCのAB上にM、AC上にNをとり、MNを結ぶ。 すると、三角形ABC:三角形AMN=AC×AB:AN×AM となりますよね。 角Aが共通角になっているときの、相似ではない定理です。 これを証明したいのですが、どんなに頑張っても分かりません。 どなたか教えていただけませんでしょうか?
- kimura0510
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- keiryu
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♯1、♯2にもう少し丁寧に解説を試みると、 BNを補助線で結び、3つに分かれた部分の面積をS1、S2、S3とすると、S1:S2=AM:MBで、S1=S2×(AM/MB) (S1+S2):S3を同様に求める。 この二つの式から、S1とS3をS2を使って表す。 求めるのは、S1:(S1+S2+S3)だから、これを全て上のS2を使って表し、文字の計算を根気強くやれば、最終的に目的の式に行き着きます。 力勝負で、少々、エレガントさには欠けますが、中学生だったらこの方法が分かりよいかもしれません。夏の勉強頑張ってください。
- naniwacchi
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#1の方の回答がエッセンスですね。 点Bと点N(または、点Cと点M)を補助線として結んでください。 すると、底辺の長さの比を用いることができます。 定理としなくても、この方法だけをしっかり抑えておくのがポイントだと思います。
お礼
アドバイスありがとうございますっっ! なんかわかったかもしれません。 △AMN=△ABC×(AN/AC)(AM/AB) △AMN×AC×AB=△ABC×AN×AM △AMN:△ABC=AN×AM:AC×AB ってことですね????♪ でもあってるのかな?
2つの三角形において、高さが同じである場合、 2つの底辺の比は、面積比に等しくなる。 また、 △ABN は △AMN × ( AB / AM ) であることが納得できるかどうかが前提となります。
お礼
回答有難うございます!! △ABN=△AMN×(AB/AM)は分かります。 △ABN:△AMN=AB:AMからですよね。 高さが同じである場合、 2つの底辺の比は、面積比に等しくなる。というのも理解しています。 ですが、そのことがこの証明につながりません(;→д←)。。
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お礼
スゴィわかりやすいっっ!!完全に理解できました☆ ありがとうございます!!! とっても助かりました!世の中には頭のいい人が多いですね~♪ ありがとでした☆☆