tan の区分求積法

質問

いつもおせわになっています。

ここで皆さんに質問しながら、
　x^n , e^x , sin(x) , cos(x)
の定積分を区分求積法で計算することができました。

次に tan(x) をやってみたのですが、どうしてもうまくできません。
画像のように加法定理を使ってみたのはいいのですが、
どうやってもΣの計算ができないのです。

どのように計算すればよいでしょうか？

回答No.1

hugen · ベストアンサー

F(x)=-logcosx　→　F'(x)=tanx
-------------------
F(b)-F(a)={F(b)-F(x_n-1)}+{F(x_n-1)-F(x_n-2)}+・・・+{F(x_1)-F(a)}
　　　　 　=F'(t_n)(bーx_n-1)+F'(t_n-1)(x_n-1ーx_n-2)+・・・+F'(t_1)(x_1ーa)

お礼

回答ありがとうございます。

まだ、いただいたヒントを理解しきれていないので
もう少し考えてみます。

補足

まだ完全にはわかってなさそうですが

> F(b)-F(a)={F(b)-F(x_n-1)}+{F(x_n-1)-F(x_n-2)}+・・・+{F(x_1)-F(a)}
> 　　　　 　=F'(t_n)(bーx_n-1)+F'(t_n-1)(x_n-1ーx_n-2)+・・・+F'(t_1)(x_1ーa)

の部分は
b-x_n-1 = x_n-1 - x_n-2 = … = x_1 - a = (b-a)/n
とすると

-logcos(b) - (-logcos(a))
= {-logcos(b)+logcos(x_n-1)}+{-logcos(x_n-1)+logcos(x_n-2)}+・・・+{-logcos(x_1)+logcos(a)}
= tan(b)*(b-a)/n + tan{a+(b-a)(n-1)/n}*(b-a)/n +・・・+ tan{a+(b-a)/n}*(b-a)/n

となって、これは添付画像の1行目の式と同じになっているので、
tan を積分した結果は
　-logcos(b) + logcos(a)
なると考えました。

ただ、-logcos(x) というのをどのように思いつくのかがわかりませんでした。
今までは定義の式を変形していけば積分結果が出てきたのですが、
tan の積分は結果の式を思いついて逆算するしかないのでしょうか？

重ねての質問で申し訳ありません。