必要条件、、十分条件、必要十分条件について

質問

コンニチワ
必要条件、十分条件、必要十分条件について
区別の仕方がいまいちよくわかりません
分かる方教えて下さい
数Aの分野です
よろしくお願いします

回答No.12

pip_pip

Ａ、Ｂは集合とし、ＡはＢに含まれている状態とします。すなわちＡ⊆Ｂ。これが必要とか十分という言葉の前提です。このとき教科書等では“ＡはＢの十分条件”というと書いてます。この言葉の意味はですね、あるｘという元がＢに入っていることを知りたい時に、もしｘがＡの中に入っていることを言えれば、それで“十分”でしょ。だってＡはＢに含まれているんだから。これを言葉を換えて言えば“ｘがＢの元であるためにはｘがＡの元であれば十分である”といえます。さらに言葉を換えると“ｘがＡの元であることはｘがＢの元であるための十分な条件である”といえます。これをさらに短縮すると“ＡはＢの十分条件である”言えるわけです。

つぎに必要条件ですが教科書等ではＡ⊆ＢのときＢはＡの必要条件というと書いてます。これはですね、あるｘという元がＡに入っていることを言いたいときに、少なくともＢに入っていることは“必要”ですよね。だってＡはＢに含まれているんだから、ＢにはいっていなければＡにもはいってない。つまり“ｘがＢの元であることがｘがＡの元であるために必要な条件”なわけです。すなわち“ＢはＡの必要条件”というわけです。
少し例を出しましょう。Ａ＝｛ｘ｜ｘは6の倍数｝、Ｂ＝｛ｘ｜ｘは3の倍数｝としますと“ｘが6の倍数ならｘは3の倍数”ですからＡ⊆Ｂが成立します。そこでｘが3の倍数であることを言うにはｘが6の倍数であると言えれば十分である。したがってＡはＢであるための十分な条件と言える。またｘが6の倍数であるためにはｘは3の倍数であることが必要である。したがってｘが6の倍数であることはｘが3の倍数であることが必要な条件である。すなわちＢはＡであるための必要条件です。
必要、十分という言葉はこういう事情で使われたのでしょう。

一般にＡ⊆Ｂのとき“ＡならばＢ”と言うことに注意してください。これは“ｘ∈Ａならばｘ∈Ｂ”すなわちＡ⊆Ｂと言う意味に解釈できます。もしこれに続き“ｘ∈Ｂならばｘ∈Ａ”も同時に成り立てばＢ⊆Ａも成り立ちＡ＝Ｂが言えます。このことは一般の集合Ａ，Ｂにも言えることです。

実践的な例を出します。一次方程式3ｘ+2＝５・・・（１）を解きます。
まず2を移行して３ｘ＝３・・・（２）。両辺を３で割ってｘ＝１・・・（３）
これを必要条件十分条件を考慮して分析しましょう。まず（１）を満たす解の集合をＡとします。（２）を満たす解の集合をＢとします。（３）を満たす解の集合をＣとします。そこで（２）の式は（１）から導き出されましたから（１）の解は、すべて（２）を満たすことがわかります。すなわちＡ⊆Ｂです。同じく（３）は（２）の式から導かれましたから（２）を満たす解はすべて（３）を満たします。したがってＡ⊆Ｂ⊆Ｃが成り立ちます。すなわち上の回答は厳密に言うとＣの元は１一個ですから“（１）に解があるならばそれは１である”ということが証明されただけなのです。（１）に解が存在するかどうかについては何も言ってないのです。ところがですね（笑、うまいことに（３）から（２）導かれます。（3倍してね！）また（２）から（１）をみちびきだせるのもあたりまえでしょ（笑。ということはＣ⊆Ｂ⊆Ａも成り立つんです。すなわちＡ＝Ｂ＝Ｃつまり3つの解集合は等しかったんです。だから（３）が答えなんです。【一般にＡならばＢが成り立っているときＡはＢに含まれています。】【ＢはＡより広がっていることに注意してください。】

もうひとつ。ｘ＋ｙ＝３・・・（１）ｘ－ｙ＝１・・・（２）
両辺を足して２ｘ＝４・・・（３）ｘ＝２・・・（４）（４）を（１）代入して２＋ｙ＝３・・・（５）　ｙ＝１・・・（６）

ここでｘ＝２を（２）代入してもｙ＝１が得られますがどうしてでしょう。（１）
と（２）を同時に満たす解の集合を“（１）かつ（２）”と書き、“ならば”を⇒で代用しＡ⇒ＢかつＢ⇒ＡをＡ⇔Ｂ（Ａ＝Ｂを意味する）で代用します。すると先ほどの解法を分析すると（１）かつ（２）⇔（１）かつ（３）⇔（１）かつ（４）⇔（４）かつ（５）⇔（４）かつ（６）。（４）かつ（６）から順にたどって（１）かつ（２）に戻れることを確認してください。この分析で（１）かつ（３）のところを（２）かつ（３）としても（４）かつ（６）にたどり着きますし元の（１）かつ（２）にも戻れます。だからｘ＝１をどちらに代入しても良いのです。

必要条件十分条件は数学の道しるべです。これを十分に使いこなせないと自信を持って問題が解けません。つまり必要条件十分条件を理解することは数学ができるための必要条件といえます（笑