周長と弦の計算

質問

円心からある角度で2本線を引いて出来た扇状の周長と弦が判っているとき、扇の角度や半径は計算できますか？計算方法を教えてください。

回答No.5

noname#101087

sin(θ)/θ には名前がありました。
「シンク関数 (sinc function)」
　　　↓
　http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/sinc.htm
>■シンク関数の数学的諸性質

でも「シンク関数表」という数表 (lookup table) は見つけられません。

回答No.4

noname#101087

>..... 簡単に計算できないものかと質問しましたが、なんだか無理みたいですね。う～む困ったぞ。

「簡単に計算」できる問題じゃないにしても、敬遠に値するほどの難問でもありません。
飛ばし書きを整理だけでもしておきましょうか。

・スタートポイント。
　L = R*θ　　　…(1)
　K = 2R*sin(θ/2)　　　…(2)
割り算して、
　K/(2L) = sin(θ/2)/θ

生のθと sin の両方が入っているので、三角関数表を使っての一発勘定ができない。いたしかたなく、近似解を。

・sin のテーラー級数。
例えば、これ。
　　　　　↓
　http://amath.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2004.calculus-I/html.dir/node60.html
>4 テイラー級数の具体例 / 例 5.10 (三角関数のテイラー級数)
　sin(θ) = θ-(θ^3)/6 + .......
のはじめの 2 項を使った近似です。
　sin(θ/2) ≒θ/2 - θ^3/48

・近似解。
　K/(2L) = sin(θ/2)/θ ≒ 1/2 - θ^2/48
から、
　θ ≒ 1.040047
これを式(1)に入れて、
　R ≒ 1006.8755

Newton 法は、要するに、近似解θをチョイと変えてみて解の近似度を高めるよう内挿 / 外挿する手段。
長くなるので、割愛。

補足

お手数掛けます。
テイラー級数なるものの具体例見て目が点・・・
ここで細かく聞いて解決するのは難しそうなので、ちょっと時間を掛けて自分なりに勉強してみます。
要するに近似値でしか答えがでないんですよね。
θとRからは簡単にRLと弦が出るのに、逆は面倒なんて何か判んないけど不思議^^;

回答No.3

noname#101087

sin のてーらー級数で、はじめの 2 項を使った近似です。　sin(θ/2) ≒θ/2 - θ^3/48

　K/(2L) = sin(θ/2)/θ ≒ 1/2 - θ^2/48
から、
　θ ≒ 1.040047
　R ≒ 1006.8755
この近似値で逆算すると、
　K≒1000.63
　L≒1047.198

もっと精度を上げたけりゃ、Newton 法を使えばよいのでしょう。

補足

178tallさん何度もありがとうございます。
お手数をお掛けしましたが、私には理解しがたいです。
基礎学力はほとんど無く、仕事でやっとこさSinやらを使っている次第です。前もって説明するべきでした。
ラジアンを使ったところから？？？でした。てーらー級数、Newton法・・・わかりません^^;
度数法を使った三角関数、２πｒの円周計算などの式を使った方程式で簡単に計算できないものかと質問しましたが、なんだか無理みたいですね。う～む困ったぞ。

回答No.2

noname#101087

「扇状の周長」は、半径を含む全周だと思ってました。

それをはずせば、
　L = R*θ
　K = 2R*sin(θ/2)
たとえば割り算して、
　K/(2L) = sin(θ/2)/θ

θ＝xxxx の式にはできそうもありません。
数値求解でしょうね。

回答No.1

noname#101087

>円心からある角度で2本線を引いて出来た扇状の周長と弦が判っているとき、扇の角度や半径は計算できますか？.....

半径を R 、中心角をθ(radian)、扇周長を L 、弦長を K 、とでもしましょうか。

　L = R*(2+θ)
　K = 2R*sin(θ/2)
たとえば割り算して、
　K/(2L) = sin(θ/2)/(2+θ)

左辺が所与なら、θを求められそう。

補足

178tallさんありがとうございます。
この回答を見てもまだわかりません^^;

まず、K = 2R*sin(θ/2)は理解出来るんですが、L = R*(2+θ)の意味がわかりません。これでＲＬが出るんでしょうか？ま、私が意味が判んなくても答えを出す過程で必要な計算ならいいんですが・・・

それとK/(2L) = sin(θ/2)/(2+θ)は2式からＲを無くすために、L = R*(2+θ)を2倍にして、K = 2R*sin(θ/2)から割ったということですよね。(2+θ)が2倍になってないようですが良いのでしょうか？
そしてなによりK/(2L) = sin(θ/2)/(2+θ)をθ＝○○の式にできません^^;そこまでお願いできたらと思います。よろしくお願いします。