積分。

質問

二つのグラフがあります。
y= 5sinx
y=sin(5x)
(0<=x<=2π)
これらのグラフの長さが同じであることを
証明したいのですが、どうすればできますか？

回答No.5

mmky · ベストアンサー

参考までに

L1 = ∫(0→2π)√(1+25cos^2(x))dx
L2 = (1/5)∫(0→10π)√(1+25cos^2(t))dt
と式を導くところまではできました。
しかし、どうしてtはあくまでも5xの代わりであって
t=xとはならないのに、どうして上の2つの式が
成り立つと言えるのですか？

定積分の置換積分というのを考えてみるんです。
例えば、定積分をやってみましょう。
∫[0→1]√(3+x)dx
(3+x)=t と置換すると、
dx=dt, 積分範囲は[0≦x≦1] が[3≦t≦4] に変わりますね。
そこで積分値を求めてみます。
∫[0→1]√(3+x)dx=∫[3→4]√tdt=(3/2)t＾(3/2)|3→4
=(3/2){4＾(3/2)-3＾(3/2)}
一方、
ｔを元に戻せばt=(3+x), x　の範囲は[0≦x≦1]ですから
=(3/2)(3+x)＾(3/2)|0→1
=(3/2){4＾(3/2)-3＾(3/2)}
で同じ値になるでしょう。不定積分では積分範囲が不定ですから元に戻しますね。でも定積分では積分範囲を変えますのでxでもｔでも積分値は同じになるのです。

L1 = ∫(0→2π)√(1+25cos^2(x))dx
L2 = (1/5)∫(0→10π)√(1+25cos^2(t))dt
の場合は、cos^2(x)、cos^2(t)　が周期関数だから１周期区間の
長さを計算してその何倍かということですね。
0→10πの区間積分は、５倍の（0→2π）になるということですね。

参考になりますか。

回答No.4

mmky

mmkyです。
oshiete_gooのご指摘のようにミスでした。
質問者さんごめんなさいね。

参考に修正しておきます。
直交座標での平面曲線の長さは、
y=f(x) として, yの導関数y'が連続ならば、
L=∫[a→b]√{1+(y')＾2}dx
ですから、
y= 5sinx の場合は,
y'=5cosx,
L1=∫[0→2π]√(1+25cos＾2x)dx
y=sin5x の場合は、#1のoshiete_gooさんの指示に従って、
y'=5cos5x
L2=∫[0→2π]√(1+25cos＾2(5x))dx
5x=tと置けば、x=t/5, dx=t/5, 積分範囲[0≦x≦2π]→[0≦t≦10π]
=∫[0→10π](1/5)√(1+25cos＾2t)dt
=∫[0→2π]√(1+25cos＾2t)dt
だから積分値L1=L2 になりますね。

お詫びと修正まで

お礼

L1 = ∫(0→2π)√(1+25cos^2(x))dx

L2 = (1/10)∫(0→10π)√(1+25cos^2(t))dt

と式を導くところまではできました。
しかし、どうしてtはあくまでも5xの代わりであって
t=xとはならないのに、どうして上の2つの式が
成り立つと言えるのですか？

回答No.3

oshiete_goo

mmkyさんが丁寧な解答をされているのですが，少々ミスがあって
L=∫[a→b]√(1+y')dx →　L=∫[a→b]√{1+(y')^2}dx

以下一連の式を修正すると
被積分関数　√{1+25cos^2(x)} は半角公式より，基本周期π　なので，２πも周期です．

お礼

√{1+25cos^2(x)} は
√{1+25cos^2(5x)} じゃないですか？？

回答No.2

mmky

#1のoshiete_gooさんの回答がありますので、
弧長の積分表示が分らない時のみ参考にしてください。

直交座標での平面曲線の長さは、
y=f(x) として, yの導関数y'が連続ならば、
L=∫[a→b]√(1+y')dx
ですから、
y= 5sinx の場合は,
y'=5cosx,
L1=∫[0→2π]√(1+5cosx)dx
y=sin5x の場合は、#1のoshiete_gooさんの指示に従って、
y'=5cos5x
L2=∫[0→2π]√(1+5cos5x)dx
5x=tと置けば、x=t/5, dx=t/5, 積分範囲[0≦x≦2π]→[0≦t≦10π]
=∫[0→10π](1/5)√(1+5cost)dt
=∫[0→2π]√(1+5cost)dt
だから積分値L1=L2 になりますね。

参考程度に

回答No.1

oshiete_goo

双方とも弧長を積分で表したあと(積分変数はx)，
後者の方で　5x＝ｔ　と置換すると，
０≦t≦10π
ですが，
被積分関数が(ｔの意味で)周期πなので，０～２πまでの５倍とみて
０≦t≦2π
の5倍となり，整理して前者と同値の定積分で表せます．