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関数
f(x)=cosx+cos√2x f(x)=f(0)を解け。ただし√2が有理数でないことを使ってよい まずx=0は明らかに解とわかりました そのあと和積で cos{(√2+1)/2}cos{(√2-1)/2}=1と変形しましたが他の解があるようには思えません。 この問題に0以外の解が存在するのでしょうか もし存在するのなら考え方を教えてください
- realdreams
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ぱっと見た感想。 ・cosって-1から1の値しか取れないのにかけて１ってことは、両方が1か両方が-1しかないんじゃね？ ・とりあえずｘ＞０ってすると{(√2+1)/2}x＞{(√2-1)/2}xだから、 {(√2+1)/2}x=nπかつ{(√2-1)/2}x=(n+2)πってなるxを探すのかな～その時に√2が無理数ってのを使いそうだな～ 計算は全然してないので自分で確かめてみてください。 「実数係数のn次方程式はn個の(複素数を含む)解を持つ」(複素係数をいれていいかは忘れた)みたいなやつ以外(特に周期関数)は他にないことを示さないといけないからめんどくさいですね。
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- settheory
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f(0)=2 ですよね。となると、cosx=cos(√x)=1 のときしか成立しないはず。それぞれが1になるようなxをπで表わして、（cosxならx=2mπ mは任意の整数）その二つが等しくなる条件を考えれば良いのでは。
- mister_moonlight
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cosx+cos（√2x）＝2 。 従って、（cosx-1）＋{cos（√2x）-1}＝0。‥‥(1) ところが、cosx-1≦0、cos（√2x）-1≦0から (1)が成立するのは、cosx-1＝0、and、cos（√2x）-1＝0の時。 以下、省略。ｗ
お礼
ありがとうございました 結局x=0しかでなかったです
- naniwacchi
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和積の式から、次のように考えられるのではないでしょうか？ cosA × cosB ＝１の形であり、－１≦ cosA ≦１、－１≦ cosB ≦１ですので、 (a) cosA ＝１かつ cosB ＝１ (b) cosA ＝－１かつ cosB ＝－１ となるはずです。 結局、(a)の場合より導かれる x＝０が解になると思います。
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ありがとうございます やってみます