慣性力 エレベータ

質問

一定の加速度aで垂直に下降するエレベータの中で、床からhの高さの
ところから水平に速さvで投げたボールは、エレベータの中では、
水平方向にどれだけ進んで床に落ちるか。

と言う問題なのですが、

ボールの運動方程式は鉛直上向きにｙ軸、水平方向にｘ軸をとると、
m(d^2x/dt^2)=0・・・ア
m(d^2y/dt^2)=ma-mg・・・イ
初期条件はt=0で
x=0,y=0,dx/dt=v,dy/dt=0
運動方程式より
アよりd^2x/dt^2=0
これと初期条件より2回積分するとx=vt
イよりd^2y/dt^2=a-g
これと初期条件より2回積分するとy=(1/2)(a-g)t^2
で水平方向にどれだけ進んでというのは
このyの式でいいんでしょうか？
また、この初期条件でt=0のときy=0というのがいまいち
よく分からないので教えてください。(yは縦軸なのになんでhにならないのかな？っていうことです。)

回答No.4

g-space

いいですが、

　　x=v√{2h/(g-a)} ただし、a<g

の方がきれいですね。

お礼

なるほど、その通りですね。
ありがとうございます。

回答No.3

g-space

#2の者です。

　t=0のときx=0,y=hとした場合は、yについての微分方程式を解くと

　　　　y=(1/2)(a-g)t^2+h

になります。y=0と置けば、同じ答えが得られます。

お礼

なるほど、納得しました。
最終的な答えなんですが、
x=v√{-2h/(a-g)} ただし、a>g
でいいでしょうか？

補足

下のお礼の訂正
>>x=v√{-2h/(a-g)} ただし、a>g　ではなくて
x=v√{-2h/(a-g)} ただし、a<g
でいいでしょうか？

回答No.2

g-space

床に落ちるという条件から|a|<|g|ですね。

　初期条件x=0,y=0はボールを投げ出した位置を座標原点とするという意味なので、ボールが床に着いたときのyはhではなく-hになります。

　そこで、yの式でy=-hとおくと、床に落下するまでの時間が求まります。
　これをxの式に入れればOKです。

　ちなみに、（イ）式は合っています。加速度系の内部で運動を見ていますから、慣性力maを考慮しなければなりません。

お礼

回答ありがとうございます。
自分で座標原点を投げ出した位置に設定していたわけですね。
もし、初期条件をt=0のときx=0、y=hとしても最終的な
答えは同じですか？

回答No.1

spring135

m(d^2y/dt^2)=ma-mg・・・イ
は間違いです。投げ出した瞬間からボールに働く力は重力だけです。