合成抵抗値より各々の抵抗値を求めたいのですが・・・

質問

別紙図１をご参照頂き、下記問いについてご教示願います。

図１に示す回路において、端子a-b間の合成抵抗が８オームのとき、抵抗Ｒは「●●」オームである。

(1)８
(2)１３
(3)１８
(4)２３
(5)２８

正解は(2)の１３オームだそうですが、どう考えれば１３になるのかわかりません。
どなたかお詳しい方、お教えくださいませ。

よろしくお願い致します。

回答No.6

noname#101087

#4 です。
>この応用の式は初心者の私にはちょっと難解 ....

そうでもないので、蛇足を少々。

よく出てくる梯子 (ladder) 回路なら、縦続行列で「事務的に」勘定すれば、いちいち回路方程式を立てずに済みます。
基本形は二つだけ、という単純なもの。

[直列アーム] インピータンス Z

i1 → ─Z─ → i2
　v1 ↑　　 ↑ v2

の縦続行列は、
　|1　Z|
　|0　1|

[並列アーム] アドミタンス Y

i1 → --┬-- → i2
　v1 ↑　Y　 ↑ v2

の縦続行列は、
　|1　0|
　|Y　1|

あとは行列積の勘定。
行列積の例。(逆 L の縦続行列)
　|1　0||1　1| 　|1　1|
　|1　1||0　1| = |1　2|

回答No.5

ruto

>ただ、「R=0.615R」の意味が私には理解できませんでした。
　並列回路の計算が理解出来てないようですね。
図の右端のＲが並列なので合成抵抗は0.5Ｒ次にすぐ左側のRが直列で1.5RそれにＲが並列で合成抵抗は0.6RそれにRが直列で1.6RそれにＲが並列でR6個分の合成抵抗は0.6154Rになり、この値が8Ωなので
0.6154R＝8　　∴Ｒ＝13Ωになります。
並列回路を理解する事が肝要です。　
R1とR2を並列につなぐとその合成抵抗Rpは　　　
Rp＝（1/R1＋1/R2)^-1
　＝R1・R2/（R1+R2）

回答No.4

noname#101087

基本は既出なので、応用のみ。
R = 1 オームのときの合成値を求めてみましょう。

逆 L タイプの二段に、R (1オーム) 二本並列を終端した形。

・逆 L の縦続行列
　|1　1|
　|1　2|

・二段分(行列積)
　|2　3|
　|3　5|

・1/2 オーム終端時の入力抵抗値
　{2*(1/2)+3}/{3*(1/2)+5} = 4/{(3/2)+5} = 8/13

お礼

ありがとうございます。
この応用の式は初心者の私にはちょっと難解でした。
でも短時間で答が出るようですので、時間をかけて理解していきたいと思います。

回答No.3

ruto

合成抵抗Rsは
Rs=[{(R//R+R)//R}//R]//R=0.615R　（ただし//は並列の意味）
∴Rs＝0.615Ｒ=8　　Ｒ＝13Ω

お礼

ありがとうございます。
ただ、「R=0.615R」の意味が私には理解できませんでした。
0.615Rというのはどうすれば求められますか？

回答No.2

sanori

こんばんは。

Ｎｏ．１様のご回答のとおりですが、基本をお教えします。
面倒なやり方ですけど、一度はやってみたほうがよいです。

方針としては、下記の１，２で連立方程式を作ります。

１．オームの法則の式
閉じた経路（電源のプラスからマイナスへの経路も閉じた経路の一種）で、オームの法則（電圧降下）の式を作る。
いくつか式を立てて、すべての抵抗を一度以上ずつ登場させなければいけない。

２．電流の式
全ての地点を一度以上ずつ通過するように、電流経路の枝分かれの式を作る。

・いちばん上にあるＲをＲ１と書き、Ｒ１に流れる電流をｉ１とします。
・２番目に上にあるＲをＲ２と書き、Ｒ２に流れる電流をｉ２とします。
・ａからまっすぐ右にあるＲをＲ３と書き、Ｒ３に流れる電流をｉ３とします。
・Ｒ３からまっすぐ右にあるＲをＲ４と書き、Ｒ４に流れる電流をｉ４とします。
・Ｒ４から右に行くと２つのＲに分岐しますが、そのうち、上側のＲをＲ５、下側のＲをＲ６と書き、それぞれに流れる電流をｉ５、ｉ６とします。

Ｒ１だけを通る経路（ａ→Ｒ１→ｂ）のオームの法則は、
ａ－ｂ　＝　Ｒ１・ｉ１

ａ→Ｒ３→Ｒ２→ｂ　の経路のオームの法則は、
ａ－ｂ　＝　Ｒ３・ｉ３　＋　Ｒ２・ｉ２

ａ→Ｒ３→Ｒ４→Ｒ５→ｂ　の経路のオームの法則は、
ａ－ｂ　＝　Ｒ３・ｉ３　＋　Ｒ４・ｉ４　＋　Ｒ５・ｉ５

Ｒ５から左に逆流して下に曲がってＲ６を通ってＲ５に戻る経路のオームの法則は、
０　＝　－Ｒ５・ｉ５　＋　Ｒ６・ｉ６

以上で、Ｒ１からＲ６のすべてを１回ずつ通過する式が勢ぞろいしました。
ａ－ｂ＝Ｖ　と置き、Ｒ１～Ｒ６をすべてＲに戻せば、以上の式は、

Ｖ　＝　Ｒ・ｉ１
Ｖ　＝　Ｒ・ｉ３　＋　Ｒ・ｉ２
Ｖ　＝　Ｒ・ｉ３　＋　Ｒ・ｉ４　＋　Ｒ・ｉ５
０　＝　－Ｒ・ｉ５　＋　Ｒ・ｉ６
となります。

あとは、電流の式です。
ａからｂに流れる電流をＩと置くと、
ａから右の分岐は
Ｉ　＝　ｉ１　＋　ｉ３
ｂに流れ込む前の合流は、
Ｉ　＝　ｉ１　＋　ｉ２　＋　ｉ５　＋　ｉ６
Ｒ３から右の分岐は、
ｉ３　＝　ｉ２　＋　ｉ４
ｉ４から右の分岐は、
ｉ４　＝　ｉ５　＋　ｉ６

以上のことから、
（あ）Ｖ／Ｒ　＝　ｉ１
（い）Ｖ／Ｒ　＝　ｉ３　＋　ｉ２
（う）Ｖ／Ｒ　＝　ｉ３　＋　ｉ４　＋　ｉ５
（え）０　＝　－ｉ５　＋　ｉ６
（お）Ｉ　＝　ｉ１　＋　ｉ３
（か）Ｉ　＝　ｉ１　＋　ｉ２　＋　ｉ５　＋　ｉ６
（き）ｉ３　＝　ｉ２　＋　ｉ４
（く）ｉ４　＝　ｉ５　＋　ｉ６
という８本の式（連立方程式）ができました。

ＩをＶとＲの式で表せさえすれば、終わりです。

（あ）により、ｉ１＝Ｖ／Ｒ　を代入。
（お’）Ｉ　＝　Ｖ／Ｒ　＋　ｉ３
（か’）Ｉ　＝　Ｖ／Ｒ　＋　ｉ２　＋　ｉ５　＋　ｉ６

（え）により、ｉ６＝ｉ５　を代入。
（か’’）Ｉ　＝　Ｖ／Ｒ　＋　ｉ２　＋　２・ｉ５
（く’）ｉ４　＝　２・ｉ５

（く’）により、ｉ５＝ｉ４／２　を代入
（う’）Ｖ／Ｒ　＝　ｉ３　＋　３／２・ｉ４
（か’’’）Ｉ　＝　Ｖ／Ｒ　＋　ｉ２　＋　ｉ４

（き）により、ｉ２＝ｉ３－ｉ４　を代入
（い’）Ｖ／Ｒ　＝　２・ｉ３　－　ｉ４
（か’’’’）Ｉ　＝　Ｖ／Ｒ　＋　ｉ３

以上を整理すると、
（い’）Ｖ／Ｒ　＝　２・ｉ３　－　ｉ４
（う’）Ｖ／Ｒ　＝　ｉ３　＋　３／２・ｉ４
（お’）Ｉ　＝　Ｖ／Ｒ　＋　ｉ３
（か’’’’）Ｉ　＝　Ｖ／Ｒ　＋　ｉ３
ここで（お’）と（か’’’’）は同じになったので、（か’’’’）は捨てます。

（い’）Ｖ／Ｒ　＝　２・ｉ３　－　ｉ４
（う’）Ｖ／Ｒ　＝　ｉ３　＋　３／２・ｉ４
（お’）Ｉ　＝　Ｖ／Ｒ　＋　ｉ３

（い’）により、ｉ４＝２・ｉ３－Ｖ／Ｒ　を代入。
Ｖ／Ｒ　＝　ｉ３　＋　３／２・（２・ｉ３－Ｖ／Ｒ）　＝　４・ｉ３　－　３／２・Ｖ／Ｒ
５／２・Ｖ／Ｒ　＝　４・ｉ１３
ｉ３　＝　５／８・Ｖ／Ｒ

（お’’）に代入して、
Ｉ　＝　Ｖ／Ｒ　＋　５／８・Ｖ／Ｒ　＝　１３／８・Ｖ／Ｒ
ＲＩ　　＝　１３／８・Ｖ
Ｖ　＝　（８／１３・Ｒ）・Ｉ

よって、合成抵抗は、８／１３・Ｒ　です。

８／１３・Ｒ　＝　８オーム　なので、
Ｒ　＝　１３オーム　です。

お礼

ありがとうございます。
一見複雑そうな解き方のようですが、これは間違いがないですね。
大変参考になりました。

回答No.1

wildcat-yp

一つずつ考えていくしかないのでは？
まず右端から、並列なので、Rが二つで合成抵抗は 和分の積でR^2／2R＝R/2、それにその左隣の直列につながっているRを足すと直列の場合の合成抵抗は足し算なので、R＋R/2=3R/2。
それとRが並列で・・・とやって、最終的に＝8とすると、Rに関する１次方程式ができそうですが。

本当は自分で確かめた方がいいのですが、

R+R/2と並列のRを合わせて3R/5、
それと左の直列のRを合わせて 8R/5、
それと一番上のRを並列に合わせて 8R/13。
これが全体の合成抵抗なので、
8R/13=8
さすがにこれは簡単ですよね？

お礼

ありがとうございました。
初心者はやはり「基本に忠実」が一番ですね。
右から一つ一つ求めていくのが、回り道のようでも近道なのかも知れません。