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ベクトルについて
cfv21の回答
- cfv21
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回答No.1ですんでいますが、蛇足の付け足しをさせてください。 質問のような状況は、大学入試では、四面体の体積を求めるような問題で、底面の法線ベクトル、四面体の高さを求めるようなときに起こります。 回答No.1を整理すると、もう少し要領よく解答できる便利な考え方ができます。 以下、ベクトルを全角大文字、スカラーを半角小文字で表示します。 直線l(エル)の方向ベクトルをＬ，ＡのＬに沿う方向の成分がＢ，Ｌに垂直な方向の成分がＣです。 Ｂ＝kＬ なので、 Ｃ＝Ａ－kＬ です。 Ｃ⊥Ｌなので、 Ｃ ・Ｌ＝(Ａ－kＬ) ・Ｌ＝Ａ・Ｌ－kＬ・Ｌ＝0 ∴ k＝(Ａ・Ｌ)／(|Ｌ|^2) 四面体の体積を求めるような問題では、底面にない頂点から、底面の1頂点に向かうベクトルＡの、底面の法線ベクトルＬへの正射影の大きさkが四面体の高さになりますが、これを、内積をＬの大きさの2乗で割って求めることができる、というわけです(受験生の方は、結果の式でなく、道筋を覚えましょう)。 この質問では、Ｃを成分表示しなくても、 Ａ・Ｌ＝(7, －8, 10)・(2, －3, 6)＝14＋24＋60＝98 |Ｌ|^2＝|(2, －3, 6)|＝4＋9＋36＝49 k＝98／49＝2 Ｂ＝2Ｌ＝(4, －6, 12) Ｃ＝Ａ－Ｂ＝(7, －8, 10)－(4, －6, 12)＝(3, －2, －2) と求めることができます(シュミットの直交化法と言います)。
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