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量子力学：不確定性原理ΔxΔpの拡張
cyototuの回答
#3です。 質問者さんにも参考となると思いますので、再びここを借りて、＃４さんのポアンカレサイクルについて触れておきましょう。 時間の対称性の破れを論じる時に、しばしばポアンカレサイクルに搦めて論じる方が居りますが、これもやはり慎重に論じないと、判ってもいないのに判った気にさせられてしまうことがあります。 そもそも、ポアンカレサイクルは古典力学の位相空間内の軌跡に関する定理です。そして、その位相空間内で「もし運動が有限領域に閉じ込められているのなら」という条件付きで適用可能な定理です。 従って、その条件を満たさない状況ではポアンカレサイクルの概念は意味をなさなくなります。自然放出の問題では、どこでこの条件が満たされなくなるか、一つ一つ解説してみましょう。 先ず、これは古典力学の問題ではなく、量子力学の問題だと言う点です。従って、始めから位相空間内の軌跡と言う概念が存在しません。このことについてはもう一度後に説明します。 次に、荷電粒子が有限の空間に閉じ込められており、その境界条件にエネルギーの散逸が無い、すなわち量子力学のシュレーディンガー方程式が成り立っている場合には、光のエネルギースペクトルが不連続の値を持ちます。その場合には、運動は準周期的になり、共鳴効果による自然放射は起こりません。自然放射を起こさせるためには荷電粒子は無限大の空間の中に在り、従って光のエネルギースペクトルが連続に成っている必要があります。ですから、運動が有限領域に閉じ込められているという条件も満たさないのです。 もう一つ、上で述べた量子力学について、量子力学は一般に座標空間か運動量空間の中に広がりを持った波動関数を取り扱います。従って、個々の軌跡ではなく、量子論的な確率アンサンブルを扱うのです。そこで、それに対応して、例えば古典力学でも、位相空間内の統計的なアンサンブルを考えてみましょう。これは、一般には位相空間内でゼロでない体積を持って連続的に分布する点の集まりで記述されます。そこで、極端にそのアンサンブルがたった２点だけで出来ているような場合を考えてみましょう。非線形でカオス的な振る舞いを示す古典系では、ある一点の運動の無限近傍での他の一点の振る舞いは、はじめの点との振る舞いと完全に違ったものになることが知られています。ですから、たとえ運動が位相空間内の有限領域に閉じ込められていたとしても、はじめの一点から出発して、ある時間経ってその近傍にまた点が戻って来た時の時間と、その無限近傍のもう一点から出発してそれがその一点の近傍に戻ってくる時間は全然違っています。そこで、その二点が同時に元の２点の近傍に戻ってくる時間はそれぞれの戻ってくる時間の最小公倍数になるわけです。それが、３点に成ったら、その最小公倍数は２点の時よりも桁違いに長くなることは判りますね。ところが一般には古典力学でも位相空間内のアンサンブルは有限な体積を持っているのですから、与えられた一点の周りの無限集合の運動を考えていることになります。従って、カオス的な振る舞いをする非線形系では，その無限の点が同時にもとの近傍に帰ってくる時間は無限大となってしまいます。別な言い方をすると、古典力学でも、位相空間内のアンサンブル、すなわち無限の点の集合全体に対しては、たとえ運動が有限な領域に閉じ込められていたにしても、それに対応するポアンカレサイクルは一般の非線形系には存在しません。 ですから古典力学でも、時間対称性の破れをたった一つの軌跡に対して論じているのか、それともアンサンブルについて論じているのかで、全然違ってくるのです。 いわんや、量子力学では軌跡と言う概念が無く、アンサンブルに関する概念のみが在るのですから、これに対してポアンカレサイクルを持ち出して、その運動を論じるのは筋違いなのです。量子力学の専門の方でも、時間の対称性の破れを専門にしていない方の間では、ポアンカレサイクルに対してこのように混乱している方が時々いると言う経験を、私もしたことがあります。 このように、少なくとも３つの側面から、どうして自然放射の問題をポアンカレサイクルの概念を使いながら説明することに意味が無いか、お判りいただけたでしょうか。
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お礼
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