多様体の表面が同相ならば中身も同相と出来るか

質問

同じタイトルの質問で、TeXの出力を画像にして添付したところ、解像度が悪く全く読めなかったので、リンクを張ることにしました。

http://gbs.ur-plaza.osaka-cu.ac.jp/tmp2/ogoo0509/p2.jpg

を参照してください。

この添付の命題１は平たく言うと、ユークリッド空間中の多様体C1の表面H1が同相な多様体H2があると、H2の中身C2も同相と言えるか、ということだと考えられます。

もう少しC1,H1やFに対して何らかきつい条件が必要かもしれませんが、このような問題は既に数学的に解決されているように思います。だれか、知っている人、手がかりを持っている人居ませんか。

回答No.3

arrysthmia

ケイタイからのアクセスのため、リンク先は見ていません。
あくまで、質問文に書かれた質問に対して回答をしています。

補足

それが話が食い違っている原因ですね。
質問文に全部おさめることが出来ればよかったんですが、まあいろいろ環境が悪く、かないませんでした。
もし見ることが出来る機会がありましたら、またよろしくお願いします。

回答No.2

arrysthmia

同相性の話をしているときに、何故、
体積が登場できる？

内部と外部を区別すれば済むと思っているのなら、
平面にハンドルを１個付けたような境界の内外を
考えてみるといいかも。

補足

​http://gbs.ur-plaza.osaka-cu.ac.jp/tmp2/ogoo0509/p2.jpg

のリンク先は読まれましたでしょうか。

回答No.1

arrysthmia

同相とは限らないでしょう。
球面の内部と外部を比べれば判る。

補足

うーん。そもそも、H1を球の表面として、その外側をC1とすると、C1の体積が無限大なので、Fの体積そのものが無限大になってしまい、話が成り立たなくなってしまいますが....（逆にC1には暗黙のうちに体積有限の仮定が入っているということですね。）

表題および、「平たく言えば....」　が余計なイメージを与えてしまったかな。jpgの文章を詳しく読んでいただければわかると思いますが、C2はFを作ってからFによって出来るようになっているので、球面の場合でも内部と外側が対応することはないと思います。