「こうすればいい」ってのは何の記憶・経験に基づくもの？？

質問

皆さんこんばんは。最近はすっかり勉強から遠ざかり、せっかくの
ＧＷなのでと思っていたのですが、風邪をひいてしまいました。
ま、それはいいとして。

問
空のタンクに水を入れるのに、給水管Ａを４本と給水管Ｂを８本同時に使うと、ちょうど１０分で満水になる。給水管Ａが１本で２分間に給水する量と、給水管Ｂが１本で３分間に給水する量が同じであるとき、空のタンクをちょうど７分で満水にするには、給水管ＡとＢをそれぞれ何本同時に使えばよいか。

選択肢
１．Ａ５本、Ｂ１２本
２．Ａ６本、Ｂ１１本
３．Ａ７本、Ｂ１０本
４．Ａ８本、Ｂ９本
５．Ａ９本、Ｂ８本

テキストの解説
Ａ１本の２分間とＢ１本の３分間の給水量が同じであることから、
ＡとＢの１分あたりの給水量の比は１／２：１／３＝３：２。
ＡとＢの１分あたりの給水量をそれぞれ３．２と仮定して（☆）、

（３×４＋２×８）×１０＝２８０
２８０÷７＝４０

という解説がされていました。

僕が今、この問題を解こうとしたときに、一応それっぽい式は思いついたのですが、全く違っていたようで、結局、推測の解答さえ導き出せませんでした。先手を打てば、要は「考えたけど、結局その方法では解くことはできなかった」わけですね。

で、この問題の場合、☆の部分が解くことの第一段階であり、
なおかつこれさえわかれば解くことができるという魔法のキー
ワードのようなのですが、なんでそうすればいいってわかるん
でしょうか？一応、２Ａ＝３Ｂというのは自分のメモ書きにも
ちゃんと書いてあるのですが、そこから「３．２にすればいい。
そうすれば解ける」なんて、一気にそこまで話を飛ばすことな
んてできないですよねぇ（だってこうすればいいなんて知らな
いのですから。知ってる人はその知識を基にできたかもしれま
せんが）。

「３．２にすればいい」というのは、どうやって思いついたらよ
いのでしょうか？テキストと同じ解き方をした方は、どこいらの
記憶・経験からこの解法を導き出したのでしょうか？

回答No.11

Tacosan

原理的には「3:2 にすれば解ける」なら「1/2:1/3 のままでも解ける」はずです. つまり, 「A と B の 1分あたりの給水量をそれぞれ 1/2, 1/3 と仮定」しても後の計算が変化するだけで同じ結果にたどり着きます. 実際,
・A を 4本, B を 8本使うと 10分で満水になる→タンクの容量は
(1/2×4 + 1/3×8)×10 = 140/3.
・これを 7分で満水にするためには, 1分あたりの給水量は
140/3÷7 = 20/3.
あとは選択肢の中から「1分あたりの給水量が 20/3 となるもの」を見つけるだけです.
「3:2 にするという発想ができれば解けたはず」と言っていますが, 「3:2 にするか 1/2:1/3 にするか」は小手先でしかありません. 比率のみが重要であって実際の値は (ある意味) どうでもいいということに気づいてください.

お礼

ありがとうございました。

回答No.10

yamsaru

話が伝わるような、伝わらないような…

>>…で、ここで最大の疑問なのですが、なぜ「そうしよう」と思ったの
>>ですか？また、なぜ「こうすれば解ける」と思ったのですか？

当然ですが、小学生の頃、私は「こうすれば解ける」なんて知りませんでした。
単に給水管ＡＢの給水量を、どうにかして比較できないかと四苦八苦していただけです。
「どちらも１分だけ測ってみたらどうだろう…」というのは、
その四苦八苦の中で、たまたまヒットしたアイディアに過ぎません。
実際はその１０倍以上のアイディアが、闇へと消えてゆきました。
思いついた後も、何となく腑に落ちない感覚は抜けず、
何回も同じような問題を経験し、そのたびに考え、テストで不正解になり、
この手法が自分の中に定着するまで、数ヶ月を要しました。
だからNo.7の回答にも
「そういったことを、色々と考えてみるんです」と書きましたよね。

質問者さまは、これを数日や数週間で身に着けようとされています。
話が噛み合わない原因は、そこなんです。
本来なら数年かかる内容を、そんな短期間では無理だと私は申し上げているんです。

>>テクニックとして得ることはできない、ということでしょうか？
どうでしょう？暗記に優れた方ならば、可能かもしれません。
ですが、そんな能力があれば、もっと幼い頃にマスターできたのではないですか？
そんな能力が無いからこそ、いま困っているのではないですか？

質問者さまはあくまでもこれを「テクニック」だと思っていらっしゃる。
ですが他の方も仰っていますが、そもそもその捕らえ方がダメなんです。
人間は「以前はできなかったこと」も、経験を得れば
「当たり前にできる」ようになっていきます。
例えば幼児は、一人では自宅へ帰れません。迷子になります。
ですが成人すれば、一人で帰れない人なんていません。「当たり前」ですね。
しかし幼児にとって、そんな能力は想像もつきません。

質問者さまはこの幼児の状態です。
あなたにとって未知の能力だから、少しでも近づこうと思って質問するのでしょう。
ですが、テクニックなど存在しないのです。数をこなすのみです。
ただ厄介なのは、幼児にはそれすら理解できないということ。
何が何でもうまいテクニックがあるはずだと固執する。
そして固執すればするほど、習得からは遠ざかる。
周囲はそれを見ながら思う。つべこべ言っているうちに練習すればいいのに…
掛け算の九九だって、覚えたての頃はつっかえていたはずです。
ですが何百回も口にすれば、「当たり前」に言えるようになります。
しかし最初の頃、自分がスラスラ言えるようになるなんて想像しましたか？

こうしたことを「どうすればできるようになりますか？」
なんて聞かれても、大抵の人は困ってしまうんです。
あーでもない、こーでもない、と右往左往しているうちに、
植物の成長のように何年もかけて、いつしかできるようになるものですから。
今からマスターしたいという心意気は買いますが、それには何年もかかるだろうし、
一朝一夕に『思いつく方法』と言われても、そんなものありゃしません。
そしてそのための期間は、義務教育という名で９年ほど与えられていたはずです。
解説を読んで理解できたとしても、自在に使いこなすには
おそらく数年レベルの時間が必要でしょう。
それでも構わない、という意味であれば、いずれできるようになります。
そんなのは嫌だ、というなら、一生できません。
辛いようですが、教育に携わる者として、これが現実です。

お礼

ともすれば、やはりレパートリー集めにこだわったほうが、
今の自分には効率がよいということですよね。

ありがとうございました。

回答No.9

naozou

No.4です。
> でも、いくら色々な問題を解いても、それぞれの問題はみんなパターン・中身が違うため、経験はその時限りのものでしかありませんでした…。

最初の回答には納得するための解答を書きましたが、質問者の補足を読むと少し違うところで、なやんでいるような気がしましたので、再度アドバイスします。

少し話しはそれますが、
2 x 8 x 5
ってどう暗算しますか？
2 x 8 x 5 = 16 x 5 = 80 とやりますか？
2 x 8 x 5 = 2 x 40 = 80 とやりますか？
暗算であれば、後者がずっと楽ですよね？それは、繰り上がりも簡単だし、5の段、2倍するという単純な計算の組み合わせできるからですよね。
じゃ、
3 x 8 x 5
はどうしますか？前の計算を忘れて、
3 x 8 = 24 x 5 = 120
とやりますか？やらないですよね。

> 経験はその時限りのもの

とおっしゃるということは、よっぽど役に立たないダメな問題ばかりを解いているか、その問題で習得すべきテクニックや考え方、解法のポイントを理解していない、ということなんだとおもいます。上のかけ算でいえばかけ算はどこから計算してもよく、計算が簡単になる場合もある、ということです。
（私が最初に指摘した、キーワードを外しているということにつながります。）

もう一つ、関連することを挙げましょう

> 自力で「１／２：１／３」から「３：２」につなげる発想さえ

別に、1/2:1/3のまま計算をしてもとけるはずです。比の問題では見かけの数字は重要ではなく、その比の大きさだけが問題になります。比の問題でいえば、この点が一番重要なのですよ。それを理解していなかったから「発想さえ」というコメントになるのだとおもいます。

お礼

ありがとうございます。

＞なやんでいるような気がしましたので

そうなんです。今までにたくさんの問題を解いてみましたが、たとえ
その問題で学ぶことがあったとしても、次の問題を解くときには、そのときの経験は何も意味を持たなかったのです。なぜかというと、問題の内容はそれぞれ全く別々であり、その度に、その問題における個別の解き方が必要だったからですね。

今回の問題も、「３：２にすればいい」ということがわからなかったわけですが、このタイミングでこの解法を使うことで解ける、という問題に、今まで出会ったことなど、ありませんでした。

回答No.8

koko_u_u

>いつも書いていることですが、「Ａは○、Ｂは×」と判別がつくように
>なりたいため、こういった質問をしています。

いつも書いていることですが「○」の方を気にしすぎです。
×が何故間違えているかを理解すれば、そのうち間違いを冒すことも減るでしょう。

はい、あなたの×を補足にどうぞ。

お礼

ありがとうございました。

回答No.7

yamsaru

(1)まず誰でも、問題を読んでこう思いますよね？
　「給水管Ａと給水管Ｂの、水の供給スピードは結局いくらなんだ？
　　こんな文章じゃわかりにくくて敵わん！」
　だから、まずそこをハッキリさせることから入ります。
　ここで「そんなこと思わない」では話が終わってしまいます。
　ああいう分かりにくい文章を読むと、普通は
　「要するに給水スピードはどの程度なんだよ？分かりにくく書きやがって！」
　くらいのことは思うものです。

(2)『給水管Ａが１本で２分間に給水する量と、
　　給水管Ｂが１本で３分間に給水する量が同じである』
　この文章から、水をバケツか何かにドドドと注いでいる様子を想像します。
　給水間Ａを出しっぱなすと、２分でバケツが満杯になる。
　給水間Ｂを出しっぱなすと、３分でバケツが満杯になる。
　……じゃあ出す時間をそろえたら？
　……どちらも１分で止めたらどうなる？
　そういったことを、色々と考えてみるんです。
　例えば１分で止めた場合　→「給水間Ａは、バケツの半分まで水が溜まる」
　　　　　　　　　　　　　→「給水間Ｂは、バケツの三分の一まで溜まる」

(3)後はいわゆる通分です。
　Ａは１分でバケツの半分　→　じゃあ１分で1/2だな　→　通分して3/6
　Ｂは１分で三分の一　　　→　じゃあ１分で1/3だな　→　通分して2/6
　ここまできて、やっと両者の給水量が３：２だと分かります。
　参考書はたった一行ですが、実はこれだけの思考が必要なんです。

>自然とそのうちできるようになる」ということなのでしょうか？
そうですが、私のいう『そのうちできる』は、少なくとも数年です。
私も小学生の頃に「こんなの思いつくか！」と思いましたが、
あーでもない、こーでもないと悩み続けた結果、
高校生くらいには、この作業は常識になっていました。

以下は全くの老婆心です。
私は高校の数学教師ですが、これは小中学校で習うはずの内容です。
過去の質問者さまの内容を読むと、
明らかに小中学校でマスターしておくべき『常識』が無さすぎます。
確かに、これを最初に見た人は誰でも戸惑うでしょう。
「こんなの思いつかない」という気持ちも分かります。
ですが……普通は、それは義務教育で通過することなんです。
私も、小学校の頃は同じことで苦しんだ覚えがあります。
ですが数年も経つと、そんなことは常識として処理されるんです。

例えて言えば質問者さまは、
自転車に乗れないまま大人になったようなものです。（私の祖母がそうでした）
みんなは幼少期にクリアしていることが、未だにできない。
「初めてだから乗れない」というのは正論ですが、
一般的には「いい年して何言ってんのかしら？」と思われるでしょう。
そしてきっと、こう言われるでしょう。
「じゃあ何でその年になるまで放置しておいたの？」
「みんな練習してるのに、マズいと思わなかったの？」
「『マスターしない』のを選んだのは自分でしょう？」
「なのに『自分に責任はない』って、それ本気？」
過去にも、ときどきキツい回答者さまがおられましたが、
きっと上記のようなことを思ってらっしゃったんだと思います。

非常に辛いとは思いますが、質問者さまはまず次のことを理解すべきです。
「自分には、小学生レベルの常識がゴッソリ抜けている」
「それを思いつき、練習するための猶予期間は、とっくに終わった」
そして人に聞くときは、下手に出ましょう。
本来は知っていて当然のことで、人に教えを乞うわけですから。
『自分は悪くない』『思いつかないんだからしょうがない』
という態度は捨ててください。相手をイラつかせるだけです。
繰り返しますが
「それはずっと昔に教えられたこと」だし、
「それを練習するための猶予期間は、とっくに終わった」んです。
「できないまま大人になる」ことを選んだのは質問者さまですので、
責任は質問者さま本人にあるのです。
過去に質問されている内容も、ほとんどがそういったものです。

＞＞「こうすればいい」ってのは何の記憶・経験に基づくもの？？
結局、「義務教育の頃の記憶・経験」ですね。
そして質問者さまには、圧倒的にそれが無さすぎる。
それを身に着けるには、義務教育と同じ年数がかかります。

お礼

yamsaruさん、こんばんは。またずいぶんとご無沙汰な気がします。

Ａは１分でバケツの半分　→１分で1/2　→通分して3/6
Ｂは１分で三分の一　　　→１分で1/3　→通分して2/6
ここまできて、やっと両者の給水量が３：２だと分かります。

…で、ここで最大の疑問なのですが、なぜ「そうしよう」と思ったの
ですか？また、なぜ「こうすれば解ける」と思ったのですか？

＞それを身に着けるには、義務教育と同じ年数がかかります。
つまるところ、いくら思いつくための過程を質問しても、それをテクニックとして得ることはできない、ということでしょうか？

回答No.6

koko_u_u

>＞単位をブッ飛ばしてしまう思考方法なので、お勧めしません。
>えぇーっと、ってことは、テキストの解説はあまり模範的な解答
>ではなかったということでしょうか？

「私は嫌いな解法だ。」という意味です。

>koko_u_uさんでしたら、どのような解答方法を使いますか？

「私が好きな解法」をあなたが気にする必要はありません。きっと役には立ちません。
先の回答にも書きましたが、あなたが問題を読んで、考えた内容を補足にどうぞ。

お礼

今回、僕にとってひっかかっているのは、「３．２にすればいい。
そうすれば解ける」という、飛躍した発想についてです。いつも
書いていることですが、「Ａは○、Ｂは×」と判別がつくように
なりたいため、こういった質問をしています。

回答No.5

yamori2009

回答がわからない人に対して天下り的な解説をしたところで応用できないのは目に見えているわけですが、どのような解説も読者に一定の理解を要求しなければならないので、その基準に質問者の方が達していなかったということだと思います。

私の回答も所詮は一定の基準の理解を得ている人にしか通じませんが、

まず、問いはなにを求めろと言っているのか考えます。
するとAをx本、Bをy本としてx,yを求めればよいことが分かります。
xとyを求めるには、それらに関する何らかの関係式を求めなければなりません。
すると7分でこれらの給水管はタンクを満水にすることから
タンクの水の容量をk、A,Bが1分間に通す水の量をa,bとして
7ax+7by=kという式が出来上がります。
さらにa,b,kというわからない変数が出てきたのでさらにこれらについての関係式を探そうと考えます。
すると給水管Ａを４本と給水管Ｂを８本同時に使うと、ちょうど１０分で満水になることから
10a*4+10b*8=k ------- 式１
給水管Ａが１本で２分間に給水する量と、給水管Ｂが１本で３分間に給水する量が同じであることから
2a*1=3b*1 ------- 式２
式１，２から140b=k
7ax+7by=kと式２から
(21/2)bx+7by=k
これと140b=kから
b((21/2)x+7y)=140b
たぶんb>0なので
(21/2)x+7y=140
これを満たす組を選べばいいことになります。

ポイントは、何を求めなければならないのか考えその値を変数に置き換えることと、求めたい変数についての関係式を探すことです。

この二つはどんな数学の問題にも応用が利くので覚えて損はないです。

お礼

ありがとうございました。

回答No.4

naozou

☆の部分はキーワードではありません。そこをキーワードと思うということは、解答を理解できていないということになります。
☆の部分はNo2やNo3の方がおっしゃるように、ただ計算を簡単にするためだけのトリックです（その意味では魔法）。

この問題は
> ＡとＢの１分あたりの給水量の比は１／２：１／３＝３：２。
にたどり着くことは、第一段階であり、なおかつこれがわかれば解くことができるキーワードです。
ここから先、見た目だけ異なる別解を書いてみます。考え方はまるっきり同じです。（ただし、中学生で習うことが入ってます）

> ＡとＢの１分あたりの給水量の比は１／２：１／３＝３：２。
Aの1分あたりの給水量をaとると、Bの給水量は2a/3となる。
給水管Ａを４本と給水管Ｂを８本同時に使い、10分間給水すると
(a x 4 + 2a/3 x 8) x 10 = 28a/3 x 10 = 280a/3
となり、これがタンクの容量となる。

7分間で給水管AをN本、給水管BをM本つかって満タンにすると
(a x N + 2a/3 x M) x 7 = 280a/3
となるから、両辺を7で割って、
a x N + 2a/3 x M = 40a/3
両辺に3を掛けて
3a x N + 2a x M = 40a
両辺をaで割って・・・★
3 x N + 2 x M = 40
N, Mの数字の組み合わせは、N=6、M=11

結局、Aの給水管がどのくらい水を注ぐかわからないので、
その量をaとしていましたが、★でaはなくなってしまいました。
じゃ、最初からaは1でいいじゃないか、それで計算が簡単になる、という風に考えたのが☆の意味です。

> 「３．２にすればいい」というのは、どうやって思いついたらよ
いのでしょうか？テキストと同じ解き方をした方は、どこいらの
記憶・経験からこの解法を導き出したのでしょうか？

（僕が質問者のように3,2にするのはよくわからなかったタイプですが）
一度上の式のようによく分からない数字を文字にして計算して、最後になくなることが分かってしまえば、同じような比の問題では、比の数字をそのまま使っちゃっても答えは同じ、ということを経験したのです。

お礼

ありがとうございます。

＞そこをキーワードと思うということは、解答を理解できていない
そんな大問題だったんですか（゜▽゜;）

＞ＡとＢの１分あたりの給水量の比は１／２：１／３＝３：２。
自力で「１／２：１／３」から「３：２」につなげる発想さえ生まれれば今回の問題は解けたと思うんです。でも、いくら色々な問題を解いても、それぞれの問題はみんなパターン・中身が違うため、経験はその時限りのものでしかありませんでした…。

回答No.3

Tacosan

「3.2 と仮定して」ではなく「3, 2 と仮定して」ですね.
別にこのように仮定する必要は全くなく, 3:2 の比になっていればどのようにおいても結論は同じになります. たとえば「3.15:2.1」とか「√3:2/√3」とかやっても同じ. もちろんどのように設定するかによって後の計算の面倒さが変わってきます.
確かに「2A=3B から A:B=3:2 なんだ」と分かる人限定になっちゃうわけですが, でもこれくらいは分かってほしい.
まあ, こんなものは (時間がかかることを許容すれば) 「正しい式を書けるだけ書いてそこから導ける式を書けるだけ書いていけばそのうち答えになる」んだけどね. ただ, それを全部やるとどうしようもなく時間がかかるので「使わなさそうな式」は最初から無視してるだけ. この辺は究極的には「慣れ」の問題だけど, ある程度は「最後に必要な式」と見比べることになります.

お礼

ありがとうございます。

＞「2A=3B から A:B=3:2 なんだ」と分かる人限定になっちゃう
そうなんです！知っている人はできるかもしれませんが、知らな
ければ「そうすればいい」なんてわからないですよね…。

＞でもこれくらいは分かってほしい
＞究極的には「慣れ」の問題
つまり、テクニック的なものではなく、「自然とそのうちできるようになる」ということなのでしょうか？Tacosanさんは、なんで、「こうすればいい」と思ったのでしょうか？？

回答No.2

mc-aumsc

こんばんは。
ＡとＢの給水量の比が３：２というところまでは分かりますか？

この問題はタンクの量、Ａ・Ｂそれぞれの給水量全てが値として定められていないので、いくつか仮定して解かなければなりません。
解答例だと、１分間の給水量がＡ＝３、Ｂ＝２と仮定していますが、３：２の比率になっていれば、
Ａ＝６，Ｂ＝４でも、
Ａ＝９，Ｂ＝６でもいいわけです。
ただ、数字が大きいと、それだけ計算がややこしくなるので、解答例では１番小さい整数の
Ａ＝３，Ｂ＝２を使っているのだと思います。

で、Ａ４本・Ｂ８本を１０分間でタンクが満水になるので、
１分間の量×時間＝タンクの量
（３×４＋２×８）×１０＝２８０
と、タンクの量が２８０となります。
もちろん、この２８０も仮というわけです。

で、タンクの量２８０を７分で割れば、１分間の量４０が出てきます。

Ａの本数をａ、Ｂの本数をｂとすると、１分間の量は、
３ａ＋２ｂ＝４０
という式になり、それが当てはまるのはａ＝６，ｂ＝１１の２番が正解になるわけです。

お礼

ありがとうございます。

＞ＡとＢの給水量の比が３：２というところまでは分かりますか？
問題というか、自分にとって壁は、「それが答えを導きために必要なものだ」と気付くことができなかったことだと思います。

なんで「３：２」とやれば問題が解けるって、わかるんですかねぇ？