- ベストアンサー
割り算の余りは・・・
割り算の余りを求める問題 「xは整数とする。 (x^2+x+1)^1234 を x^3+x^2+x+1 で割った余りを求めよ」 一体何を計算すれば良いのかさっぱり分かりません。因数分解も試みたのですがまるっきり駄目でした。 誰かこの問題を解くカギを教えてください!
- 数学・算数
- 回答数6
- ありがとう数3
- みんなの回答 (6)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
まず剰余定理を使う方法でいくと, x^3+x^2+x+1 で割った余りはたかだか 2次なので (x^2+x+1)^1234 = (x^3+x^2+x+1)P(x) + ax^2+bx+c とおく. で, x^3+x^2+x+1 = (x+1)(x^2+1) なのでこの式に x=-1, i, -i を代入して連立方程式に持ち込む. ひねった方だと, x^2+x+1 = (x^3+x^2+x+1) - x^3 だから (x^2+x+1)^1234 = [(x^3+x^2+x+1) - x^3]^1234 となり, 右辺を 2項定理でばらすと (-x^3)^1234 の項以外は x^3+x^2+x+1 を因数に持つので (x^3+x^2+x+1)P(x) + (-x^3)^1234 となる. あとは #2 でも言われるように x^4 を x^3+x^2+x+1 で割ると 1 が余るのでこれを使えば OK. 要は, 「10 ≡ 3 (mod 7) だから 10^1234 ≡ 3^1234 (mod 7)」 と同じことです.
その他の回答 (5)
- seahorse57
- ベストアンサー率44% (11/25)
「xは整数とする」とあるから整数の割り算についての話なのでしょうか。 それにしては x=-1 を代入すると「0で割った余り」なるものが登場して変になる気が……
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
←No.4 馬鹿を言ってはいけない。 A No.3 の割り算は多項式環の除算だから、 x に代入できる値は整数に限定されない。 代入は、あれで良いのだ。 難点は、多項式の除算で進めた話を、最後に 整数の除算の話に引き戻すときに、 P(x) の各係数が整数であることを、どうやって 保証するか?という点だ。 それは証明可能なのだが、 初等的範囲で説明するのは、かなり煩瑣だから、 答案としては、どうか。
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
>なのでこの式に x=-1, i, -i を代入して連立方程式に持ち込む. 持ち込めるわけがない。 問題文に“xは整数とする”と書いてある。それとも、虚数=整数なんだろうか、冗談だよな。w
- owata-www
- ベストアンサー率33% (645/1954)
#1さんとは違うやり方で (x^2+x+1)^2=x^4+2x^3+3x^2+2x+1=(x+1)(x^3+x^2+x+1)+x^2 を使うと 「(x^2+x+1)^1234 を x^3+x^2+x+1 で割った余り」と「(x^2)^617 を x^3+x^2+x+1 で割った余り」が等しい となります あとは (x-1)(x^3+x^2+x+1)=x^4-1 →x^4=(x-1)(x^3+x^2+x+1)+1 を使えば解けるかと ちなみに私も#1さんと同じ答えになりました まあ、もっと簡単な方法もあるかもしれませんが
お礼
ありがとうございます。 x^4を使って何とか証明することができました。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
普通は剰余定理を使うんだろうけど, 今の場合に関しては 「(x^2+x+1)^1234 を x^3+x^2+x+1 で割った余り」と「(-x^3)^1234 を x^3+x^2+x+1 で割った余り」が等しい ことを使った方が楽. 答えは x^2 かな?
補足
すみません・・・当たり前なのかもしれませんが > 「(x^2+x+1)^1234 を x^3+x^2+x+1 で割った余り」と「(-x^3)^1234 を x^3+x^2+x+1 で割った余り」が等しい →何故なんですか?理由がどうしても分かりません(汗) 理由を教えてください!あと答えがx^2になるというのも分かりません・・・。お願いします。
関連するQ&A
- 整式の割り算の余りの求め方
整式の割り算の余りを求める問題です。 「ある整式を『x^3+3x^2+x+1』で割った余りが『x^2+x+2』 の時『x^3+x+3』で割った余りを求めよ。」という問題です。 因数分解ができず剰余の定理が使えずお手上げです。 ヒントだけでもいいので教えてください。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 割り算の余りの求め方
割り算の余りを求める計算式ってありますか(簡単な) チェックデジットの計算で「7で割った余り」というものがあり その説明で、「7で割った余り」の計算方法の説明に困難しています。 簡単な式や説明方法を知りたいのです。 (チェックデジットをご存じでない方は、チェックデジットについては無視してください) 今のところ、「7で割って、答えの整数を元の数字から引きなさい」と説明しています
- 締切済み
- 数学・算数
- 割り算の余りについてです。
こんな事をご質問するのはとっても恥ずかしいのですが 割り算の余りについてです。 EXCELで計算すると、4/7の余りが4になるのですが 「3」ではないのでしょうか? どうして「4」になるのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 負の数の割り算の余り
a<0,b<0のとき a÷bの余りの符号ってどうなるのですか? (-6)÷(-4)=1余りー2 (-6)÷(-4)=2余り2 とどっちの計算が正しいのですか?負の数の割り算の余りの概念が分からず悩んでいます。計算機を利用したところ負の数÷負の数の余りは必ず負の数になるようです。どうしてなのですか?分からないので知っている人はぜひ教えていただきたいです。お願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- 割り算!! やり方不明になってしまいました!
割り算の計算もんだいなんですが、 割り算の百ます計算なんです! ___|→Y→→→ X÷Y| 6|56|67| ↓| 3|□|□|□| X|25|□|□|□| ↓|36|□|□|□| みたいなかなり下手くそな図なんですけどX÷Yと1番左上にあり、縦がX、横がYとあります。 計算の仕方なのですが、3÷6みたいにXは左Yは右で計算しないといけないのですか?? 筆算でしたら6√3みたいに小数点なったりするやつがでたりするんです! この場合小数点でも、割り切れなく余りがでても書くんですか? 余りの場合どうしたらいいんですか?? 6÷3のY左X右での計算は不可ですか??? 意味不明な図で説明下手くそですがわかるかたお願いします!
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 分数の割り算で余りを求める方法を教えてください。
1÷(7/240)=34余り1/120 上記計算のように、分数の割り算で余りを求めなければならない場合、どのような方法で計算するとわかりやすいのでしょうか。 小学生で理解できる方法を教えてください。 仕事算で用いた計算です。 他中学受験算数で、こういった計算を使うことはあるのでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 余りの求め方
f(x)は整式で、(x-2)で割った余りは3,(x+2)^2で割った余りは-xである。 f(x)を{(x+2)^2}(x-2)で割った余りを求めたいのですが、 f(2)=3 f(-2)=-x=2 である。また、商をQ(x)とすると、実数s,t,uを用いて f(x)={(x+2)^2}(x-2)Q(x)+sx^2+tx+u て表せる。よって、 f(2)=3=4s+2t+u f(-2)=2=4s-2t+u となるところまで導いたところで行き詰まってしまいました。 2つしか式を立てられなかったので、この連立方程式は解けませんよね? ここからどうすれば良いのでしょうか?よろしくお願いします。 あと気になったのですが、正しい解答方法とは全然関係ないと思うのですが、 ここで(x+2)^2を複素数の範囲で因数分解して3つ連立して式を作っても、最終的には解けるのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 割り算の商余について
本サイトで下記問題と解答を見つけました。 私の知識では商は整数のはずですが、下記問題、回答は少数になっています。 「40.1÷75=0.5…2.6」 商が小数でも良いのであれば 「40.1÷75=0.53...0.35」や0.5346....0.005も答えになるはず。 小学校ではどのように教えているのでしょうか? ※割り算について教えてください。 2022/02/04 09:33 小学生の娘に割り算をおしえているのですが、恥ずかしながら親が分かりません… 40.1÷75=0.5…2.6 になりますが、なぜ余りの数が答えの0.5より大きいのでしょうか? 子供にもわかりやすく教えて頂けると嬉しいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 割り算の計算方法について
初歩的な質問ですいません。いつもパソコンや電卓に頼っていたら割り算の計算方法を忘れてしまいました。もちろん割り算というのは九九が基本となるということは分かっておりますが、 どの数字をどの数字と掛ければ良いか?分からなくなってしまいました。仮に553÷40という割り算の場合、40√553とすると思いますが、どの数字をどの数字と掛ければ良いか分からなくなってしまいました。割り算というのは553の中に40が幾つ入っているかということなのでしょうが・・・このように考えると、13となると思いますが、余りが30出てしまいます。余りが出ると通常は更に割り算をすると思うのですが・・・? どうも計算式が分からなくなってしまいました。また、割り算をしていると余りというものが出てくる場合があると思いますが小数点以下は、切捨てという場合は、言葉通り・の後ろに表示される数字は全て0として良かったでしょうか? とても初歩的な質問ではありますが、計算式等、詳しくご指導を頂けませんでしょうか。 どなた様か、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- CRC(生成多項式)の割り算の商の求め方について
(X(13)+X(10)+X(8)+X(7)) / (X(6)+X(4)+X(2)+1) =X(7)+X(5)+X(4)+X+1 余り X(3)+X(2)+X+1 について 質問したいのですが、10010110000000 / 1010101で割り算して余りが1111になってX(3)+X(2)+X+1になるのはわかるのですが割り算しているとき、商のX(7)+X(5)+X(4)+X+1の意味がわかいません。 商の求め方のわかります方いましたら教えてください。 他の割り算の問題で教えていただいてもうれしいです。 どうしても理解したいので宜しくお願い致します。
- 締切済み
- ネットワーク
お礼
おお!やっと分かりました。 そこでmod x^3+x^2+x+1で、 (-x^3)^1234≡(x^4)^925・x^2≡x^2 ですね。