発散も回転もある場？

質問

http://imagepot.net/view/123778295212.jpg

この図を見て頂きたいのですが、
発散も回転もあるそうです。
発散は場の流れがとぎれているところで、生じているのは容易に分かりますが、回転はどこで生じているのでしょうか？

文章中では側面付近と書かれていますが、これは丸と四角の右と左の場のない部分との境界線ということだと思うのですが、
ここで回転をとったとしても値はゼロになると思うのですが、
どうすれば回転が有限の値をもつというのでしょうか？
よろしくお願い致します。

回答No.1

noname#161582 · ベストアンサー

円柱の内部ではAは一様なのでrotA＝0、円柱の外部ではA＝0なのでrotA＝0ですが、
境界をはさんで0からAに不連続に変化するので境界でのAの変化率(＝微分)
は無限大(＝デルタ関数)であることは直感的にわかると思います。
境界を含む領域でデルタ関数を積分することにより有限の値が得られます。

図のなかの文中にもあるように、境界を含む板状の領域でストークスの定理を用いると

∫rotA・dS＝∫A・dr　・・・(イ)

右辺の周回積分の経路(板状領域の周囲の辺)のうち、円柱の内部から外および外から内部へ向かう辺上では
A⊥drなのでA・dr＝0、また円柱の外部ではA＝0ですが、円柱内部の軸に平行な辺からの寄与があって
辺の長さを1とすれば

∫A・dr＝A　・・・(ロ)

となって(イ)の左辺≠0です。
一方、(イ)の左辺の面積分の積分領域(板状領域)のうち、円柱の内部と外部ではrotA＝0です。
積分の値が0ではないので領域のどこかでrotAは0でない値をとらなければなりませんが、
残されている部分は内部と外部の境界ということになります。
はばの無い境界でのみ値を持ち、境界を含む範囲で積分して有限の値を持つためには
境界でのrotAの値はデルタ関数でなければなりません。