係数難問について

質問

なんどもごめんなさい
私はぜんぜんだめです。
これから、ここのサイトで数学を特訓します。
（a＋b＋c＋d)10(乗）を展開するとき、ab5(乗）c4(乗）の係数の求め方がわからないです。
文字式が3個だとわかるけど、4個は難しいです。

回答No.5

dekuu

ojamanboさんの答の部分の追加です。別にこれはしなくてもいいのですが簡略です。
ｍCｎ=ｍ！/｛n！*(ｍ－n)!} ,rCr=1なので
10C1 * 9C5 * 4C4 =10!/(1!*9!) * 9!/(5!*4!) *1
=10!/(1!*5!*4!)
と簡略できます。

回答No.4

keiri2002

どもです。#2です。

＞これは、さらに展開してわかるものなのですか？
展開しなくても、ちょっと考えれば分かりますよ。

考え方　
どれについて考えてもいいのですが、とりあえずcで
Ａ^10＝(a+b)^10を展開してもｃが無いので、ab^5c^4を得られない。
Ａ^9Ｂ＝(a+b)^9(c+d)を展開してもcの最高次は1次で4次は得られない。
もうお分かりだと思いますが、もう少し
Ａ^8Ｂ^2＝(a+b)^8(c+d)^2を展開してもcの最高次は2次で4次は得られない。
結局cの4次を得られるのは、Ｂ^4以上が必要なのだが、もう少し深く考えるとＢ^5以上で得られるcの4次には必ずdがついてくる。次数を減らして考えれば分かると思います。例えば(c+d)^2のcの1次はdがついてくる。
よってＢは4次でなければならない！！
Ｂ^4のときＡは6次、これはbの5次を得られる、しかもちょうどbが5次の時aは1次
ということでab^5c^4を得られるのはA^6B^4だけ

＞よって最初の係数210
これはA^6B^4の係数

文章で書くとだらだらですが、頭で考えると、大した事ないです。

補足

なんどもすみません。
＞Ｂ^5以上で得られるcの4次には必ずdがついてくる。次数を減らして考えれば分かると思います。例えば(c+d)^2のcの1次はdがついてくる。
よってＢは4次でなければならない！！
Ｂ^4のときＡは6次、これはbの5次を得られる、しかもちょうどbが5次の時aは1次
ということでab^5c^4を得られるのはA^6B^4だけ

についてよくわかりません。
＞Ｂ^5以上で得られるcの4次には必ずdがついてくる
に対してですが、2次以上でCはつくと思うのですが？
よくわかりません

回答No.3

jmh

展開したら、
　（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）^１０＝…＋μａ（ｂ^５）ｃ＾４＋…
となったとしましょう。
この両辺を、ａで１回、ｂで５回、ｃで４回、（偏？）微分します。
すると、１０！＝５！４！μが得られます。

回答No.2

keiri2002

＃1の方が技を使っておられるので
力まかせの方法で

A=a+b,B=c+dとおく
(a+b+c+d)^10=(A+B)^10
=A^10+10A^9B+45A^8B^2+120A^7B^3+210A^6B^4+252A^5B^5+210A^4B^6+120A^3B^7+45A^2B^8+10AB^9+B^10

ここでab^5c^4を得られるのはA^6B^4だけであることから
A^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6
B^4=c^4+4c^3d+6c^2d^2+4cd^3+d^4
よりab^5、c^4の係数はそれぞれ6、1
よって最初の係数210と掛けて1260。

なんかむりやりやね（＾＾；）

補足

何度も質問してすみません。
ここでab^5c^4を得られるのはA^6B^4だけであることから
これは、さに展開してわかるものなのですか？
それとも、わかる方法があるのでしょうか？

もう一門
よって最初の係数210
はどこでわかるのでしょうか？

回答No.1

noname#24477

(a+b+c+d)(a+b+c+d)・・・(a+b+c+d)
１０個の括弧があります。ここからａを１つ、ｂを５つ、ｃを４つ
選んで下さい。１つの括弧からは１文字しか選べません。
さて何通りになるでしょう。

答
10Ｃ1＊9Ｃ5＊4Ｃ4
＊はかけ算
ｍＣｎは組合せの数です。