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二つの既約分数の和が整数のとき、分母は等しい ・・・なぜ?
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#2のご解答と同じ式から出発します。 (A/B)+(C/D)=m A,B,C,D、m;整数 B>0,D>0 両辺にBをかけます。 A+C(B/D)=mB A,mBは整数ですからC(B/D)も整数です。C/Dが既約分数でしたからB/Dが整数でなければいけません。 B=nD B>0,D>0 でしたからnは自然数になります。 両辺にDをかけます。 同じようにして D=n'B(nは自然数) が出てきます。 この2つの式はn=n'=1の時に成立します。
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- mister_moonlight
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丸投げなんで、ヒントだけ。 分母が異なる2つの既約分数(分母も分子も自然数)の和は整数にならない、事は良く知られている。 但し、3個の和の場合は整数になりえる。 2つの既約分数を b/aとd/c とする。但し、a>c としても一般性を失わない。 題意から、(b/a)+(d/c)=k (kは整数)とすると、b/a=(ck-d)/(c)となるから、「既約分数が、より分母の小さい‥‥‥ ? に変形できる事を意味している」。これは、矛盾である。 従って、これはa>cと仮定した事によるから、a=cである。 ?の部分は、自分で考えて。
- ichiro-hot
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#2です。タイプミス! 訂正お願いします。 >>B=A+R1(0<R1<Aの整数) ,D=C+R2(0<R2<Dの整数) >> ∴ A=B-R1 、C=D-R2 …(2) B=A+R1(0<R1<Bの整数) ↑ >>0<R1<Aの整数だから,DはBで割り切れる。 >>∴D=k2・B (ただしk2≧1の整数) ・・・(5) 0<R1<Bの整数だから, ↑ R1はBで割り切ることはできないので を補ったほうがよかったかな?
- ichiro-hot
- ベストアンサー率59% (82/138)
本当ならユークリッドの互除定理・合同式を使うのでしょうが・・・ (A/B)+(C/D)=m m;整数 B>0,D>0 …(1) と置いて見る。 簡単にするために 0<(A/B)<1,0<(C/D)<1 の条件をつけておきます。 B=A+R1(0<R1<Aの整数) ,D=C+R2(0<R2<Dの整数) ∴ A=B-R1 、C=D-R2 …(2) (1)より A・D+B・C=m・B・D これに(2)を代入し整理すると R1・D+R2・B=(2-m)・B・D …(3) (3)の両辺をDで割ると R1+{(R2・B)/D}=(2-m)・B R1,(2-m)・Bは整数だから{(R2・B)/D}も整数。 0<R2<Dの整数であるからBがDで割り切れる。 ∴B=k1・D (ただしk1≧1の整数) ・・・(4) 同様に(3)の両辺をBで割ると {(R1・D)/B}+R2=(2-m)・D R2,(2-m)・Dは整数だから{(R1・D)/B}も整数 0<R1<Aの整数だから,DはBで割り切れる。 ∴D=k2・B (ただしk2≧1の整数) ・・・(5) (4),(5)より B・D=k1・k2・B・D ∴K1・k2=1 k1≧1,k2≧1ならばk1=k2=1 よって B=D 拡張互除定理まで使うとかえって互いに素ということを示しにくい。 それで規約性を(2)の形で表しました。どうでしょうか?
- owata-www
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