- 締切済み
正方行列の対角化
大学で計画数学を履修しているのですが わからない部分があります。 授業でやったのですが、時間がないとのことで 早々に進んだ部分です。 対角化可能がどうか調べる問題で A=16 -18 15 0 -1 -1 -10 12 -9 Aの固有値1.2.3 固有ベクトル α=16/5 β=9/2 γ= 6 1 1 1 -2 -3 -4 Aの固有値と固有ベクトルの求め方はわかるのですが その後の P=16 9 6 5 2 1 -10 -6 -4 とおけば対角化可能である の部分がわかりません。 Pはどのように出したのですか? 1 0 0 0 2 0 0 0 3 と対角になるとわかるにはどうすればいいのですか? ネットでもいろいろ調べましたが その部分が省略されていてわかりませんでした。 どなたか教えてください。
- みんなの回答 (1)
- 専門家の回答
みんなの回答
- KI401
- ベストアンサー率53% (44/82)
関連するQ&A
- 対角化不可能な4次正方行列
行列A= (-1,0,0,1) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (4,0,0,-1) について。 Aの固有値を求め、それぞれの固有値に対するAの固有空間の基底を一組求めよ。また、適当な正則行列Pを求めてp^(-1)APが対角行列になるようにせよ。 という問題がわかりません。 自分で計算したところ、λ=-3,1(3重解)と出ました。 λ=-3のとき、基底のひとつはt^(1,0,0,-2)と出ました。 問題はλ=1のときです。(1*E-A)を変形したときのランクは1で、未知数4だから4-1=3>0で対角化不可能です。 このときの固有ベクトルをt^(x,y,z,w)とするならば、z=2xという関係式から t^(1,0,0,2) t^(0,1,0,0) t^(0,0,1,0) を基底に選んだのですが、これは間違っているでしょうか? あと、この後どうやったらいいのかわかりません。 いま出した4つのベクトルを正規化して横に並べても、これはPにはならないですよね。 教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の対角化について
行列Aが与えられていてその行列の固有値、固有ベクトルを求め、Aを対角化せよという問題があったとして、その問題を解くときに まず固有値を求め、固有ベクトルを求めるところまではいいんですが、 対角化するというときに固有ベクトルから行列Pを求め、P-1AP = 対角行列という風にすると思うんですが、この場合P-1APは実際にP-1を求めて計算する必要があるんでしょうか? はじめから対角行列であるということがわかっているように普通に書いてもよいんでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の対角化
┌1 -2 -2┐ A=│1 2 2│ └(-2) 2 1┘ という行列なのですが、対角化できるのでしょうか? 何度も何度も解きなおしてるんですけど対角化できません。 Aの固有方程式の解で重解になっているものがないので対角化は・・可能ですよね? 固有値として-1、±√7が求まるのですが、±√7に対する固有空間を考えるとどうしても固有ベクトルとして成分がすべて0の(3,1)行列しか出てこなく、対角化行列が ┌0 0 0┐ P=│1 0 0│ └(-1) 0 0┘ といったような行列になってしまうのですが、この場合P^(-1)が存在しないためP^(-1)*A*Pは存在しない事になり、Aは対角化不可能ということになってしまいますよね?? 多分どこか間違った理解をしているところがあると思います。 どなたかご教授お願いできないでしょうか?
- 締切済み
- 数学・算数
- 行列の対角化について
(4 -5) (2 -3) という行列Aがあり、この行列の固有値が2とー1、固有ベクトルが a(5),b(1) (2) (1) となります。(ただしa,bは0でない任意実数) この行列Aを対角化するときに対角化するのに必要な行列をPであらわすと P=(5 1) (2 1) とできるとあるのですがこのPを P=(1 5) (1 2) とすることはできないのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の対角化について
実対称行列A:= | 0 1 2 | | 1 1 3 | | 2 3 0 | に対し、tPAPが対角行列となるような実正則行列Pはどのように求めればよいのでしょうか? この場合は、固有値&固有ベクトルが簡単には求まらないので、簡単には対角化のための行列が求まりません。(たいていの問題では求まるんですが。) このような時は実二次形式を利用して解く、というような事は、色々見るのですが、いざやってみると行列Aの第1行第1列が"0"である事が非常に扱いづらいのです。つまり基本行変形だけで三角行列に変形できないのです。 どなたか教えていただけないでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の対角化 固有値を求める
次の行列の固有値、固有ベクトルの作る行列Pを求めて、対角行列に変換せよ。 A= 7 4 -16 -6 1 12 2 2 -5 と言う問題で、 固有値を求めるとき、|A-λE|より (7-λ) 4 -16 -6 (1-λ) 12 2 2 (-5-λ) となって =(7-λ)(1-λ)(-5-λ)+(-6)*2*(-16)+2*4*12-・・・・ としてから展開すると、計算も大変で、そのあとの 因数分解もわかりません;; どうすれば、もっと簡単に固有値を求められるでしょうか? お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 固有値が重複している行列の対角化
線形代数の質問です。 二次行列Aを、ある正則行列Pを用いて(P^-1)APと対角化するときのPを一つ求めよ、という問題があります。ここで、Aの固有値が二つあれば固有ベクトルも二つ求まりそれらを並べることでPがわかりますが、固有値が一つしかない場合はどうしたらいいのでしょうか。 教科書の例題を見ると、A=[a1,a2](a1=[3,-1]、a2=[0,2])のとき、固有値はλ=3で、[λI-A]x=0よりx+y=0となり、固有ベクトルは[1,-1]となります。このあとどのようにして正則二次行列Pを求めればいいのでしょうか。 どなたか御回答よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 線形代数の正方行列の三角化について
現在、大学で線形代数学を学んでいるのですが、対角化の仕方は分かるのですが、三角化の仕方がさっぱり分かりません。 例えば、 行列A = 8 -9 4 -4 について、固有値を求めると、2になりますよね。 この場合は、2に対する固有ベクトルをp_1とすると、 p_1= 3 2 のみなので、対角化はできずに三角化をするしかありませんよね。 →ここからが分からない部分です。 このとき、(A-2E)p_2=p_1を満たすp_2を求めると、 p_2= -1 -1 となり、Ap_1=2p_1,Ap_2=p_1+2p_2であるから、 P=(p_1,p_2)とすると、 Pの逆行列×AP= 2 1 0 2 となるそうなのですが、どうしてその仕組みで三角化が できるか分かりません。 分かる方がいましたら、解説していただけないでしょうか?宜しくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数